Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 74
2014-06-07 
Для заданного значения $m \in \mathbf{N}$:
а) доказать, что число $\frac{1}{m+1} C^{m}_{2m}$ является натуральным;
б) найти наименьшее значение $k \in \mathbf{N}$, для которого число $\frac{k}{n+m+1} C^{n+m}_{2n}$ является натуральным при каждом натуральном значении $n \geq m$.
Решение:
а) Положительное число
$\frac{1}{m+1} C^{m}_{2m} = \left ( 1 - \frac{m}{m+1} \right ) C^{m}_{2m}= C^{m}_{2m} - \frac{(2m)!}{(m-1)!(m+1)!} = C^{m}_{2m}- C^{m-1}_{2m}$
является целым, ибо $ C^{m}_{2m}, C^{m-1}_{2m} \in \mathbf{N}$ при $m \in \mathbf{N}$.
б) Пусть задано число $m \in \mathbf{N}$. Так как при $n = m$ число
$\frac{k}{n+m+1} C^{n+m}_{2n}= \frac{k}{2m+1}$
должно быть натуральным, то искомое значение $k \in \mathbf{N}$ должно делиться на $2m+1$, поэтому $k \geq 2m+l$. Пусть $k=2m + 1$. Тогда при $n=m$ положительное число
$\frac{k}{n+m+1} C^{n+m}_{2n}$
является натуральным, а при $n > m$ оно равно
$\frac{2m+1}{n+m+1} C^{n+m}_{2n} = \left ( 1- \frac{n-m}{n+m+1} \right ) C^{n+m}_{2n} =$
$= C^{n+m}_{2n} - \frac{(2n)!}{(n+m+1)!(n-m-1)!} = C^{n+m}_{2n} - C^{n+m+1}_{2n}$,
т. е. является целым, ибо $ C^{n+m}_{2n}, C^{n+m+1}_{2n} \in \mathbf{N}$. Таким образом, искомое наименьшее значение $k$ равно $2m + l$.
Для заданного значения $m \in \mathbf{N}$:
а) доказать, что число $\frac{1}{m+1} C^{m}_{2m}$ является натуральным;
б) найти наименьшее значение $k \in \mathbf{N}$, для которого число $\frac{k}{n+m+1} C^{n+m}_{2n}$ является натуральным при каждом натуральном значении $n \geq m$.
Решение:
а) Положительное число
$\frac{1}{m+1} C^{m}_{2m} = \left ( 1 - \frac{m}{m+1} \right ) C^{m}_{2m}= C^{m}_{2m} - \frac{(2m)!}{(m-1)!(m+1)!} = C^{m}_{2m}- C^{m-1}_{2m}$
является целым, ибо $ C^{m}_{2m}, C^{m-1}_{2m} \in \mathbf{N}$ при $m \in \mathbf{N}$.
б) Пусть задано число $m \in \mathbf{N}$. Так как при $n = m$ число
$\frac{k}{n+m+1} C^{n+m}_{2n}= \frac{k}{2m+1}$
должно быть натуральным, то искомое значение $k \in \mathbf{N}$ должно делиться на $2m+1$, поэтому $k \geq 2m+l$. Пусть $k=2m + 1$. Тогда при $n=m$ положительное число
$\frac{k}{n+m+1} C^{n+m}_{2n}$
является натуральным, а при $n > m$ оно равно
$\frac{2m+1}{n+m+1} C^{n+m}_{2n} = \left ( 1- \frac{n-m}{n+m+1} \right ) C^{n+m}_{2n} =$
$= C^{n+m}_{2n} - \frac{(2n)!}{(n+m+1)!(n-m-1)!} = C^{n+m}_{2n} - C^{n+m+1}_{2n}$,
т. е. является целым, ибо $ C^{n+m}_{2n}, C^{n+m+1}_{2n} \in \mathbf{N}$. Таким образом, искомое наименьшее значение $k$ равно $2m + l$.
