Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, для каждого из которых существует строка из $2n$ чисел, обладающая следующим свойством: для любого значения $k=1, \cdots , n$ в строке имеются 2 числа, равных $k$, между которыми находится ровно $k$ чисел.

Подробнее

Для непустого множества $M \subset Q$ выполнены два условия:
1) если $a \in \mathbf{M}$ и $b \in \mathbf{M}$ то $a+b \in \mathbf{M}$ и $ab \in \mathbf{M}$;
2) если $r \in \mathbf{Q}$, то верно ровно одно из трех следующих утверждений: $r \in \mathbf{M}, -r \in \mathbf{M}, r=0$.
Доказать, что множество $M$ совпадает с множеством всех положительных рациональных чисел.

Подробнее

Конечное множество $B \subset \mathbf{R}$ назовем базисом для множества $M \subset \mathbf{R}$, если каждое число из множества $M$ может быть единственным образом представлено в виде произведения целых степеней чисел из множества $B$. Верно ли, что для любого конечного множества положительных чисел существует базис?

Подробнее

Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ имеет место равенство
$\sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k} \leq n} \frac{1}{i_{1}i_{2} \cdots i_{k}} =n$
где суммирование ведется по всем возможным наборам чисел
$ i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k}, k=l, 2, \cdots, n$,
из множества ${1; 2; ...; n}$.

Подробнее

Доказать, что если число $n \in \mathbf{N}$ не является целой степенью простого числа, то существует перестановка
$(i_{1};i_{2}; \cdots ; i_{n})$
чисел $1, 2, \cdots, n$, для которой справедливо равенство
$\sum_{k=1}^{n} k \cos (2 \pi i_{k} / n) = 0$.

Подробнее

Определить сумму всех натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых цифры образуют возрастающую или убывающую последовательность.

Подробнее

Набор $(a_{1}; \cdots ; a_{n})$ натуральных чисел, удовлетворяющих равенству
$a_{1} + 2a_{2} + \cdots + na_{n}= 1979$,
назовем четным, если число $n$ четно, и назовем нечетным, если число $n$ нечетно. Доказать, что четных наборов существует столько же, сколько нечетных.

Подробнее

Доказать, что для любых чисел $a_{1}, \cdots, a_{m} \in \mathbf{N}$:
а) существует такой набор из $n < 2^{m}$ чисел, в котором все подмножества имеют разные суммы чисел, причем среди этих сумм содержатся все числа
$a_{1}, \cdots , a_{m}$;
б) существует такой набор из $n \leq m$ чисел, в котором все подмножества имеют разные суммы чисел, причем среди этих сумм содержатся все числа $a_{1}, \cdots , a_{m}$.

Подробнее

Существует ли множество $M \subset \mathbf{N}$, удовлетворяющее следующим двум условиям:
1) любое число $n \in \mathbf{N}$ большее 1, представимо в виде $n = a + b$, где $a,b \in M$;
2) если каждое из чисел $a, b, c, d \in M$ больше 10, то равенство $a + b=c + d$ возможно лишь в случае $a = c$ или $a = d$?

Подробнее

Доказать, что если положительные числа $a, b, c \in \mathbf{Q}$ удовлетворяют равенству $\sqrt{} + \sqrt{b} = c$, то $\sqrt{a}, \sqrt{b} \in \mathbf{Q}$.

Подробнее

Доказать, что существуют положительные иррациональные числа $a$ и $b$, для которых число $a^{b}$ является натуральным.

Подробнее

Доказать, что сумма
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$
не является целым числом ни при каком значении $n \in \mathbf{N}$, большем 1.

Подробнее

Доказать, что любое число $n \in \mathbf{N}$, большее 32, представимо в виде суммы нескольких натуральных чисел, сумма обратных величин которых равна 1.
Указание. Значения $n = 33, 34, 35, \cdots 73$ требуемому условию удовлетворяют.

Подробнее