Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 70
2014-06-07 
Что больше:
$(17091982!)^{2}$ или $17091982^{17091982}$ ?
Решение:
Докажем, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$, большего 2, справедливо неравенство
$(n!)^{2} > n^{n}$.
Действительно, имеем
$n! \cdot n! = (1 \cdot 2 \cdots n)(n(n - 1) \cdots 1) = (1 \cdot n)(2(n-1)) \cdots (n \cdot 1) > n^{n}$,
так как
$1 \cdot n = n \cdot 1=n$ и $k(n-k+1) = (n - k)(k - 1)+n > n$
при $k=2, \cdots , n-1$. Положив в доказанном неравенстве
$n =17091982$,
получим ответ:
$(17091982!)^{2} > 17091982^{17091982}$.
Что больше:
$(17091982!)^{2}$ или $17091982^{17091982}$ ?
Решение:
Докажем, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$, большего 2, справедливо неравенство
$(n!)^{2} > n^{n}$.
Действительно, имеем
$n! \cdot n! = (1 \cdot 2 \cdots n)(n(n - 1) \cdots 1) = (1 \cdot n)(2(n-1)) \cdots (n \cdot 1) > n^{n}$,
так как
$1 \cdot n = n \cdot 1=n$ и $k(n-k+1) = (n - k)(k - 1)+n > n$
при $k=2, \cdots , n-1$. Положив в доказанном неравенстве
$n =17091982$,
получим ответ:
$(17091982!)^{2} > 17091982^{17091982}$.
