Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 73
2014-06-07 
Доказать, что для любого значения $n in \mathbf{N}$ справедливо равенство
$\sum_{k=0}^{n} \frac{(2n)!}{(k!)^{2}((n-k)!)^{2}} = (C^{n}_{2n})^{2}$.
Решение:
Из тождества
$(1+x)^{2n}=(1+x)^{n}(1+x)^{n}$,
пользуясь биномом Ньютона, получаем
$C^{0}_{2n} + C^{1}_{2n}x + \cdots + C^{2n}_{2n}x^{2n} =$
$=( C^{0}_{n}+ C^{1}_{n}x+ \cdots + C^{n}_{n}x^{n})( C^{0}_{n}+ C^{1}_{n}x+ \cdots + C^{n}_{n}x^{n})$.
Приравнивая коэффициенты при $x^{n}$ и учитывая равенства
$ C^{k}_{n}= C^{n-k}_{n},k=0,1, \cdots ,n$,
получаем соотношение
$ C^{0}_{2n}= (C^{0}_{n})^{2} + (C^{1}_{n})^{2} + \cdots + (C^{n}_{n})^{2}$.
Поэтому
$\sum^{n}_{k=0} \frac{(2n)!}{(k!)^{2}((n-k)!)^{2}} = \frac{(2n)!}{n!n!} \sum^{n}_{k=0} \frac{(n!)^{2}}{(k!)^{2}((n-k)!)^{2}} =$
$ C^{n}_{2n}[( C^{0}_{n})^{2}+( C^{1}_{n})^{2}+ \cdots + (C^{n}_{n})^{2}]=( C^{n}_{2n})^{2}$,
что и требовалось доказать.
Доказать, что для любого значения $n in \mathbf{N}$ справедливо равенство
$\sum_{k=0}^{n} \frac{(2n)!}{(k!)^{2}((n-k)!)^{2}} = (C^{n}_{2n})^{2}$.
Решение:
Из тождества
$(1+x)^{2n}=(1+x)^{n}(1+x)^{n}$,
пользуясь биномом Ньютона, получаем
$C^{0}_{2n} + C^{1}_{2n}x + \cdots + C^{2n}_{2n}x^{2n} =$
$=( C^{0}_{n}+ C^{1}_{n}x+ \cdots + C^{n}_{n}x^{n})( C^{0}_{n}+ C^{1}_{n}x+ \cdots + C^{n}_{n}x^{n})$.
Приравнивая коэффициенты при $x^{n}$ и учитывая равенства
$ C^{k}_{n}= C^{n-k}_{n},k=0,1, \cdots ,n$,
получаем соотношение
$ C^{0}_{2n}= (C^{0}_{n})^{2} + (C^{1}_{n})^{2} + \cdots + (C^{n}_{n})^{2}$.
Поэтому
$\sum^{n}_{k=0} \frac{(2n)!}{(k!)^{2}((n-k)!)^{2}} = \frac{(2n)!}{n!n!} \sum^{n}_{k=0} \frac{(n!)^{2}}{(k!)^{2}((n-k)!)^{2}} =$
$ C^{n}_{2n}[( C^{0}_{n})^{2}+( C^{1}_{n})^{2}+ \cdots + (C^{n}_{n})^{2}]=( C^{n}_{2n})^{2}$,
что и требовалось доказать.
