Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 72
2014-06-07 
Решить уравнение
$x!+y!+z!=u!$
в натуральных числах.
Решение:
Пусть числа $x, y, z, \in \mathbf{N}$ удовлетворяют исходному уравнению, а через $v$ обозначено наибольшее из чисел $x, y, z$. Тогда $1 \leq v < u$ и
$uv! \leq u(u - 1)! = u! = x! +y! +z! \leq 3!$,
откуда $uv! \leq 3v!$, а значит, $u \leq 3$. При $u = 3$ имеем равенства
$3!=3v!=x!+y!+z!$,
которые справедливы только в случае $x = y = z = v = 2$. При $u=2$ уравнение решений не имеет, так как в этом случае
$u! = 2 < 3 \leq x!+y!+z!$.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение
$x = y = z =2, u = 3$.
Решить уравнение
$x!+y!+z!=u!$
в натуральных числах.
Решение:
Пусть числа $x, y, z, \in \mathbf{N}$ удовлетворяют исходному уравнению, а через $v$ обозначено наибольшее из чисел $x, y, z$. Тогда $1 \leq v < u$ и
$uv! \leq u(u - 1)! = u! = x! +y! +z! \leq 3!$,
откуда $uv! \leq 3v!$, а значит, $u \leq 3$. При $u = 3$ имеем равенства
$3!=3v!=x!+y!+z!$,
которые справедливы только в случае $x = y = z = v = 2$. При $u=2$ уравнение решений не имеет, так как в этом случае
$u! = 2 < 3 \leq x!+y!+z!$.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение
$x = y = z =2, u = 3$.
