Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 67
2014-06-07 
Доказать, что если число $n \in \mathbf{N}$ нечетное, то уравнение
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{n}$
в натуральных числах имеет решение тогда и только тогда, когда
$n = m (4k-1)$ при $m, k \in \mathbf{N}$.
Решение:
Если
$n=m(4k-1) \: (m,k \in \mathbf{N})$,
то выполнено равенство
$\frac{1}{km} + \frac{1}{km(4k-1)} = \frac{4}{m(4k-1)}=\frac{4}{n}$
т. е. уравнение имеет решение
$x=km,y=km(4k-1)$.
Пусгь теперь числа
$x=2^{q}x_{1},y=2^{r}y_{1},$ где $q,r \in \mathbf{Z}^{+}$,
$x_{1},y_{1}$ - нечетны, удовлетворяют уравнению. Тогда, если $q < r$, то число
$n = \frac{4xy}{x+y} = \frac{2^{q+r+2}x_{1}y_{1}}{2^{q}(x_{1}+2^{r-q}y_{1})}$
является нечетным только в случае $q + r+2=q$, что невозможно. Аналогично доказывается, что невозможен случай $q > r$. Таким образом, $q = r$ и число
$n= \frac{2^{q+2}x_{1}y_{1}}{x_{1}+y_{1}}$
нечетно. Поэтому сумма нечетных чисел $x_{1}$ и $y_{1}$ делится на 4, а значит, они дают разные остатки при делении на 4. Заметим, что если бы все простые числа вида $4k -1$ при $k \in \mathbf{N}$ входили в разложения чисел $x$ и $y$ на простые множители с одинаковыми степенями (возможно, нулевыми), то выполнялось бы соотношение $x_{1} \equiv y_{1}(\mod 4)$, что неверно. Следовательно, существует простое число $p=4k -1 (k \in \mathbf{N})$, удовлетворяющее условиям
$x_{1}=p^{u}x_{2},y_{1}=p^{v}y_{2}$ и, $u.v \in \mathbf{Z}^{+}, u \neq v$,
где числа $x_{2}, y_{2}$ делятся на $p$. Пусть $u < v$ (случай $u > v$ рассматривается аналогично), тогда $u + v>u$ и число
$n= \frac{2^{q+2}p^{u+v}x_{2}y_{2}}{p^{u}(x_{2}+p^{v-u}y_{2})}$
делится на $p$, т. е. имеет вид
$n = mp = m (4k-1)$
Доказательство закончено.
Доказать, что если число $n \in \mathbf{N}$ нечетное, то уравнение
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{n}$
в натуральных числах имеет решение тогда и только тогда, когда
$n = m (4k-1)$ при $m, k \in \mathbf{N}$.
Решение:
Если
$n=m(4k-1) \: (m,k \in \mathbf{N})$,
то выполнено равенство
$\frac{1}{km} + \frac{1}{km(4k-1)} = \frac{4}{m(4k-1)}=\frac{4}{n}$
т. е. уравнение имеет решение
$x=km,y=km(4k-1)$.
Пусгь теперь числа
$x=2^{q}x_{1},y=2^{r}y_{1},$ где $q,r \in \mathbf{Z}^{+}$,
$x_{1},y_{1}$ - нечетны, удовлетворяют уравнению. Тогда, если $q < r$, то число
$n = \frac{4xy}{x+y} = \frac{2^{q+r+2}x_{1}y_{1}}{2^{q}(x_{1}+2^{r-q}y_{1})}$
является нечетным только в случае $q + r+2=q$, что невозможно. Аналогично доказывается, что невозможен случай $q > r$. Таким образом, $q = r$ и число
$n= \frac{2^{q+2}x_{1}y_{1}}{x_{1}+y_{1}}$
нечетно. Поэтому сумма нечетных чисел $x_{1}$ и $y_{1}$ делится на 4, а значит, они дают разные остатки при делении на 4. Заметим, что если бы все простые числа вида $4k -1$ при $k \in \mathbf{N}$ входили в разложения чисел $x$ и $y$ на простые множители с одинаковыми степенями (возможно, нулевыми), то выполнялось бы соотношение $x_{1} \equiv y_{1}(\mod 4)$, что неверно. Следовательно, существует простое число $p=4k -1 (k \in \mathbf{N})$, удовлетворяющее условиям
$x_{1}=p^{u}x_{2},y_{1}=p^{v}y_{2}$ и, $u.v \in \mathbf{Z}^{+}, u \neq v$,
где числа $x_{2}, y_{2}$ делятся на $p$. Пусть $u < v$ (случай $u > v$ рассматривается аналогично), тогда $u + v>u$ и число
$n= \frac{2^{q+2}p^{u+v}x_{2}y_{2}}{p^{u}(x_{2}+p^{v-u}y_{2})}$
делится на $p$, т. е. имеет вид
$n = mp = m (4k-1)$
Доказательство закончено.
