ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Найти все числа $n \in \mathbf{N}$, для которых при каком-либо значении
$k \in {1;2; \cdots ; n-1}$
имеет место равенство
$2C^{k}_{n}=C^{k-1}_{n}+C^{k+1}_{n}$.


Решение:


Поскольку для каждого значения $k=1,2, \cdots , n-1$ выполнены соотношения
$C^{k-1}_{n}=C^{k}_{n} \cdot \frac{k}{n-k+1}, C^{k+1}_{n}=C^{k}_{n} \cdot \frac{n-k}{k+1},C^{k}_{n} \neq 0,$
то равенство
$2C^{k}_{n}= C^{k-1}_{n}+ C^{k+1}_{n}$
равносильно равенству
$2 = \frac{k}{n-k+1} + \frac{n-k}{k+1}$ или $(n-2k)^{2}=n+2$
Следовательно, искомые значения $n \in \mathbf{N}$ обязаны иметь вид $n =m^{2} – 2$, где $m = 2, 3, \cdots$. Однако если $m=2$, то $n = 2$ и равенство $(n-2k)^{2}=
= n+2$ не выполняется при единственно возможном в этом случае значении $k= 1$. Если же $m > 2$, то это равенство справедливо, например, при $k=m (m-1)/2 – 1$ (указанное значение $k$ является целыми удовлетворяет неравенствам $0 < k < n$, так как одно из чисел $m$ или $m-1$ является четным и при $m > 2$ имеют место оценки
$0 < m(m-1)/2 - 1 < m^{2}-2$.
Таким образом, искомые значения $n$ - это все числа вида $n = m^{2}-2$, где $m = 3, 4, \cdots $