Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 57
2014-06-07 
Доказать, что для любого простого числа $p > 5$ уравнение
$x^{4} + 4^{x} = p$
в целых числах не имеет решений.
Решение:
Докажем, что если для некоторого значения $x \in \mathbf{Z}$ число
$f(x)=x^{4}+4^{x}$
является целым, то это число либо не превосходит пяти, либо является составным. Действительно, если $x < 0$, то число $f(x)$ не целое. Далее, при $x=0$ и $x=1$ имеем
$f(0)=0^{4}+4^{0} < 5, f(1)=1^{4}+4^{1} = 5$.
Если $x=2k(k \in \mathbf{N})$, то число
$f(x)=2^{4}k^{4}+4^{2k}=2^{4}(k^{4}+4^{2(k-1)})$
является составным. Наконец, если $x=2k+1 (k \in \mathbf{N})$, то число
$f(x) = x^{4} + 4 \cdot 4^{2k}=(x^{4}+4x^{2}(2^{k})^{2} + 4 (2^{k})^{4})-4x^{2}(2^{k})^{2}=$
$= (x^{2}+2(2^{k})^{2})^{2} – (2x2^{k})^{2}=$
$= (x^{2}+2x2^{k}+2(2^{k})^{2})( x^{2}-2x2^{k}+2(2^{k})^{2}) =$
$=((x+2^{k})^{2}+2^{2k})((x-2^{k})^{2}+2^{2k})$
также является составным, поскольку каждый из сомножителей $(x \pm 2^{k})^{2}$ больше 1 (ибо $2^{2k} > 1$ при $k > 0$). Таким образом, если число $p > 5$ простое, то равенство $x^{4} + 4^{x} = p$ не выполняется ни при каких значениях $x \in \mathbf{Z}$.
Доказать, что для любого простого числа $p > 5$ уравнение
$x^{4} + 4^{x} = p$
в целых числах не имеет решений.
Решение:
Докажем, что если для некоторого значения $x \in \mathbf{Z}$ число
$f(x)=x^{4}+4^{x}$
является целым, то это число либо не превосходит пяти, либо является составным. Действительно, если $x < 0$, то число $f(x)$ не целое. Далее, при $x=0$ и $x=1$ имеем
$f(0)=0^{4}+4^{0} < 5, f(1)=1^{4}+4^{1} = 5$.
Если $x=2k(k \in \mathbf{N})$, то число
$f(x)=2^{4}k^{4}+4^{2k}=2^{4}(k^{4}+4^{2(k-1)})$
является составным. Наконец, если $x=2k+1 (k \in \mathbf{N})$, то число
$f(x) = x^{4} + 4 \cdot 4^{2k}=(x^{4}+4x^{2}(2^{k})^{2} + 4 (2^{k})^{4})-4x^{2}(2^{k})^{2}=$
$= (x^{2}+2(2^{k})^{2})^{2} – (2x2^{k})^{2}=$
$= (x^{2}+2x2^{k}+2(2^{k})^{2})( x^{2}-2x2^{k}+2(2^{k})^{2}) =$
$=((x+2^{k})^{2}+2^{2k})((x-2^{k})^{2}+2^{2k})$
также является составным, поскольку каждый из сомножителей $(x \pm 2^{k})^{2}$ больше 1 (ибо $2^{2k} > 1$ при $k > 0$). Таким образом, если число $p > 5$ простое, то равенство $x^{4} + 4^{x} = p$ не выполняется ни при каких значениях $x \in \mathbf{Z}$.
