По кругу расставлены 2005 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа такие, что после их выкидывания оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
Подробнее
Клетчатый бумажный квадрат 8×8 согнули несколько раз по линиям клеток так, что получился квадратик 1 × 1. Его разрезали по отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон квадратика. На сколько частей мог при этом распасться квадрат?
Подробнее
Пусть $a_{1},a_{2}, \cdots ,a_{7}$ - целые числа a $b_{1},b_{2}, \cdots ,b_{7}$ - те же самые числа, взятые в другом порядке. Доказать, что число
$( a_{1}-b_{1})( a_{2}-b_{2}) \cdots (a_{7}-b_{7})$
является четным.
Подробнее
Пусть $a,a_{0},a_{1}, \cdots ,a_{n}$ - произвольные целые числа. Верно ли, что целое число
$\sum_{k=0}^{n} (a^{2}+1)^{3k}a_{k}$
делится на $a^{2}+a+1$ (или на $ a^{2}-a+1$) тогда и только тогда, когда число
$\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}a_{k}$
делится на $a^{2}+a+1$ (или соответственно на $a^{2}-a+1$)?
Подробнее
В бесконечной «треугольной» таблице
$a_{1,0}$
$a_{2,-1} a_{2,0} a_{2,1}$
$a_{3,-2} a_{3,-1} a_{3,0} a_{3,1} a_{3,2}$
$ a_{4,-3} a_{4,-2} a_{4,-1} a_{4,0} a_{4,1} a_{4,2} a_{4,3}$
$\cdots \cdots$
$a_{1,2} = 1$, а каждое число $a_{n,k}$, стоящее в n-й строке ($n \in \mathbf{N} , n> 1$) на k-м месте ($k \in \mathbf{Z}$), равно сумме $a_{n-1,k-1} + a_{n-1,k} + a_{n-1,k+1}$ трех чисел предыдущей строки (если какое-либо из этих чисел отсутствует в таблице, то в сумме оно заменяется нулем). Доказать, что в каждой строке, начиная с третьей, содержится хотя бы одно четное число.
Подробнее
Доказать, что для любого простого числа $p > 2$ числитель $m$ дроби
$\frac{m}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{} + \cdots + + \frac{1}{p-1}$ ($m,n \in \mathbf{N}$)
делится на $p$.
Подробнее
Доказать, что только одна тройка натуральных чисел, больших единицы, обладает тем свойством, что произведение любых двух из этих чисел, увеличенное на 1, делится на третье.
Подробнее
Доказать, что при любом значении $n \in \mathbf{Z}^{+}$ число $19 \cdot 8^{n} + 17$ является составным.
Подробнее
Доказать, что существует бесконечно много значений $n \in \mathbf{N}$, для которых любое число вида $m^{4} + n (m \in \mathbf{N})$ является составным.
Подробнее
Найти все натуральные числа $n >2$ не превосходящие числа 10000000 и обладающие следующим свойством: любое число $m$, взаимно простое с $n$ и удовлетворяющее неравенствам $1 < m < n$, является простым.
Подробнее
Пусть $a > 1$ - натуральное число. Найти все числа, являющиеся делителями хотя бы одного из чисел
$a_{n}= \sum_{k=0}^{n}a^{k}, n \in \mathbf{N}$.
Подробнее
Для заданной пары натуральных чисел $m < n$ определить, любое ли множество из $n$ последовательных целых чисел содержит два различных числа, произведение которых делится на $mn$.
Подробнее
Доказать, что существует бесконечно много чисел $n \in \mathbf{N}$, удовлетворяющих для всех значений $k = 1,2, \cdots , n-1$ неравенствам
$\frac{\sigma(n)}{n} > \frac{\sigma(k)}{k}$
где через $\sigma(n)$ обозначена сумма всех делителей числа $n$.
Подробнее
Для заданного натурального числа $k>1$ через $Q(n), n \in \mathbf{N}$, обозначено наименьшее общее кратное чисел $n, n+1, \cdots , n+k$. Доказать, что существует бесконечно много значений $n \in \mathbf{N}$, удовлетворяющих неравенству $Q(n) > Q(n+l)$.
Подробнее
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ справедливы неравенства
$0 < \sum^{n}_{k=1} \frac{g(k)}{k} - \frac{2n}{3} < \frac{2}{3}$,
где через $g(k)$ обозначен наибольший нечетный делитель числа $k$.
Подробнее