ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что для любого значения
$n \in \mathbf{N}$ уравнение
$x^{2}_{1}+ \cdots + x^{2}_{n}=y^{2}$
в натуральных числах имеет решение.


Решение:


Докажем индукцией по $n$ более сильное утверждение: для любого значения $n \in \mathbf{N}$ существуют числа
$x_{1}m \cdots , x_{n} \in \mathbf{N}$
и нечетное число $y_{n} > 1$, удовлетворяющие уравнению
$x^{2}_{1}+ \cdots + x^{2}_{n} = y^{2}_{n}$.
При $n=1$ утверждение справедливо (достаточно положить $x_{1}=y_{1}=3$). Пусть утверждение доказано для некоторого значения $n \geq 1$. Рассмотрим соответствующий набор чисел $x_{1}, \cdots , x_{n}, y_{n}$ и положим
$x_{n+1}=(y^{2}_{n}-1)/2, у_{n+1}=(y^{2}_{n}+1)/2$.
Так как число $y_{n}$ нечетно и $y_{n} > 1$, то $x_{n+1},y_{n+1} \in \mathbf{N}$ и $y_{n+1} > 1$. Тогда набор
$x_{1}, \cdots , x_{n},x_{n+1}, y_{n+1}$
удовлетворяет условиям
$x^{2}_{1}+ \cdots + x^{2}_{n} + x^{2}_{n+1} = y^{2}_{n}+ x^{2}_{n+1}= y^{2}_{n}+ \frac{ y^{2}_{n}-2y^{2}_{n}+1}{4} = (y_{n+1})^{2}$
$y_{n+1}=(y^{2}_{n}+1)/2 \equiv 1 (\mod 2)$
(так как $y^{2}_{n} \equiv 1 (\mod 4))$, т. е. утверждение справедливо и для значения $n+1$.