Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 62
2014-06-07 
Доказать, что для любых значений $a,b \in \mathbf{N}$ уравнение $ax^{2} +by^{2} = 1$ в рациональных числах либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.
Решение:
Пусть пара чисел $x_{0},y_{0} \in \mathbf{Q}$ является решением исходного уравнения, а число $k \in \mathbf{Q}$ удовлетворяет условию $ak^{2}+b \neq =0$ (таких значений $k$ бесконечно много, так как $a^{2}+b^{2} > 0$, а значит, равенству $ak^{2}+ b = 0$ может удовлетворять не более двух из бесконечного множества значений $k \in \mathbf{Q}$. Тогда числа
$x_{k}= \frac{(b-ak^{2})x_{0}-2bky_{0}}{ ak^{2}+b}, y_{k}= \frac{(b-ak^{2})y_{0}+2bkx_{0}}{ak^{2}+b}$
также удовлетворяют уравнению, поскольку
$ax^{2}_{k}+by^{2}_{k} = \frac{(b-ak^{2})^{2}(ax^{2}_{0}+by^{2}_{0})+4abk^{2}(ax^{2}_{0}+by^{2}_{0})}{(ak^{2}+b)^{2}} = ax^{2}_{0}+by^{2}_{0} = 1$
Заметим, что если пара чисел $x_{k}, y_{k}$ может быть получена с помощью указанных выше формул, то это возможно не более чем при двух значениях $k$, удовлетворяющих системе
$
\begin{cases}
a(x_{k}+x_{0})k^{2}+ 2by_{0}k +b(x_{k}-x_{0}) =0,&\text{}\\
a(y_{k}+y_{0})k^{2}- 2bx_{0}k +b(y_{k}-y_{0})=0,&\text{}
\end{cases}
$
(поскольку $ax^{2}_{0} + b y^{2}_{0} = 1$, то хотя бы в одном из этих равенств коэффициент при $k$ отличен от нуля, и, следовательно, этому равенству не могут удовлетворять более двух значений $k$). Таким образом, исходное уравнение имеет бесконечно много решений. Действительно, если бы всего решений было $n$, то различных значений $k \in \mathbf{Q}$, удовлетворяющих условию $ak^{2}+b \neq 0$, было бы не более $2n$, что неверно. Утверждение доказано.
Замечание. Приведенное решение задачи имеет наглядный геометрический смысл: на координатной плоскости точки $(x_{0}; y_{0})$ и $(x_{k};y_{k})$ - это точки пересечения прямой $x – x_{0} = k(y – y_{0})$ и кривой $ax^{2}+by^{2}=1$. То, что значения $x_{k}$ и $y_{k}$ рациональны, можно доказать, не вычисляя самих значений: действительно, при $ak^{2}+b \neq 0$ числа $y_{0}$ и $y_{k}$ являются корнями квадратного уравнения (относительно $y$)
$a(x_{0}+k(y-y_{0}))^{2}+by^{2}=1$
с рациональными коэффициентами. По теореме Виета $y_{0}+y_{k}$ - рациональное число. Значит,
$y_{k} \in \mathbf{Q0}$ и $x_{k}=x_{0}+k(y_{k}-y_{0}) \in \mathbf{Q}$
Доказать, что для любых значений $a,b \in \mathbf{N}$ уравнение $ax^{2} +by^{2} = 1$ в рациональных числах либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.
Решение:
Пусть пара чисел $x_{0},y_{0} \in \mathbf{Q}$ является решением исходного уравнения, а число $k \in \mathbf{Q}$ удовлетворяет условию $ak^{2}+b \neq =0$ (таких значений $k$ бесконечно много, так как $a^{2}+b^{2} > 0$, а значит, равенству $ak^{2}+ b = 0$ может удовлетворять не более двух из бесконечного множества значений $k \in \mathbf{Q}$. Тогда числа
$x_{k}= \frac{(b-ak^{2})x_{0}-2bky_{0}}{ ak^{2}+b}, y_{k}= \frac{(b-ak^{2})y_{0}+2bkx_{0}}{ak^{2}+b}$
также удовлетворяют уравнению, поскольку
$ax^{2}_{k}+by^{2}_{k} = \frac{(b-ak^{2})^{2}(ax^{2}_{0}+by^{2}_{0})+4abk^{2}(ax^{2}_{0}+by^{2}_{0})}{(ak^{2}+b)^{2}} = ax^{2}_{0}+by^{2}_{0} = 1$
Заметим, что если пара чисел $x_{k}, y_{k}$ может быть получена с помощью указанных выше формул, то это возможно не более чем при двух значениях $k$, удовлетворяющих системе
$
\begin{cases}
a(x_{k}+x_{0})k^{2}+ 2by_{0}k +b(x_{k}-x_{0}) =0,&\text{}\\
a(y_{k}+y_{0})k^{2}- 2bx_{0}k +b(y_{k}-y_{0})=0,&\text{}
\end{cases}
$
(поскольку $ax^{2}_{0} + b y^{2}_{0} = 1$, то хотя бы в одном из этих равенств коэффициент при $k$ отличен от нуля, и, следовательно, этому равенству не могут удовлетворять более двух значений $k$). Таким образом, исходное уравнение имеет бесконечно много решений. Действительно, если бы всего решений было $n$, то различных значений $k \in \mathbf{Q}$, удовлетворяющих условию $ak^{2}+b \neq 0$, было бы не более $2n$, что неверно. Утверждение доказано.
Замечание. Приведенное решение задачи имеет наглядный геометрический смысл: на координатной плоскости точки $(x_{0}; y_{0})$ и $(x_{k};y_{k})$ - это точки пересечения прямой $x – x_{0} = k(y – y_{0})$ и кривой $ax^{2}+by^{2}=1$. То, что значения $x_{k}$ и $y_{k}$ рациональны, можно доказать, не вычисляя самих значений: действительно, при $ak^{2}+b \neq 0$ числа $y_{0}$ и $y_{k}$ являются корнями квадратного уравнения (относительно $y$)
$a(x_{0}+k(y-y_{0}))^{2}+by^{2}=1$
с рациональными коэффициентами. По теореме Виета $y_{0}+y_{k}$ - рациональное число. Значит,
$y_{k} \in \mathbf{Q0}$ и $x_{k}=x_{0}+k(y_{k}-y_{0}) \in \mathbf{Q}$
