Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10497
2023-02-18 
Докажите, что из всех треугольников с данной стороной и данным противолежащим углом равнобедренный имеет наибольшую биссектрису, проведённую из вершины этого угла.
Решение:
Пусть $ABC$ - равнобедренный треугольник с вершиной $C$, $CK$ - диаметр его описанной окружности, $F$ - отличная от $C$ произвольная точка дуги $AB$, не содержащей точки $K$.
Точка $F$ лежит на окружности с диаметром $CK$, значит, $\angle CFK=90^{\circ}$, а т.к. $CK$ - гипотенуза прямоугольного треугольника $CFK$, то $CK\gt FK$.
Пусть $D$ и $E$ - точки пересечения стороны $AB$ с диаметром $CK$ и хордой $FK$ соответственно. Поскольку $K$ - середина дуги $AB$, не содержащей точки $C$, луч $FK$ - биссектриса угла $AFB$, а $FE$ - биссектриса треугольника $AFB$. Кроме того, $\angle KDE=90^{\circ}$, поэтому $DK\lt EK$. Значит, $CD+DK\gt FE+EK$. Вычитая из этого неравенства предыдущее, получим, что $CD\gt FE$. Что и требовалось доказать.
Докажите, что из всех треугольников с данной стороной и данным противолежащим углом равнобедренный имеет наибольшую биссектрису, проведённую из вершины этого угла.
Решение:
Пусть $ABC$ - равнобедренный треугольник с вершиной $C$, $CK$ - диаметр его описанной окружности, $F$ - отличная от $C$ произвольная точка дуги $AB$, не содержащей точки $K$.
Точка $F$ лежит на окружности с диаметром $CK$, значит, $\angle CFK=90^{\circ}$, а т.к. $CK$ - гипотенуза прямоугольного треугольника $CFK$, то $CK\gt FK$.
Пусть $D$ и $E$ - точки пересечения стороны $AB$ с диаметром $CK$ и хордой $FK$ соответственно. Поскольку $K$ - середина дуги $AB$, не содержащей точки $C$, луч $FK$ - биссектриса угла $AFB$, а $FE$ - биссектриса треугольника $AFB$. Кроме того, $\angle KDE=90^{\circ}$, поэтому $DK\lt EK$. Значит, $CD+DK\gt FE+EK$. Вычитая из этого неравенства предыдущее, получим, что $CD\gt FE$. Что и требовалось доказать.
