ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-02-18   
Докажите, что из всех треугольников с данной стороной и данным противолежащим углом равнобедренный имеет наименьшую медиану, проведённую из вершины этого угла, если угол тупой, и наибольшую медиану, если угол острый.


Решение:


Опишем окружность около равнобедренного тупоугольного треугольника $ABC$ с вершиной $C$, $O$ - центр этой окружности, точка $D$ - середина стороны $AB$, а $F$ - отличная от $C$ точка на дуге $AB$, содержащей точку $C$. Поскольку угол $ACB$ тупой, точка $O$ лежит на продолжении отрезка $CD$ за точку $D$, поэтому $OD+DC=OC=OF$.
Применяя неравенство треугольника к треугольнику $ODF$, получим, что

$OF\lt OD+DF,~\mbox{или}~OD+DC\lt OD+DF,$

откуда $DC\lt DF$. Что и требовалось доказать.
Пусть теперь угол $ACB$ острый. Тогда центр $O$ описанной окружности равнобедренного треугольника $ABC$ лежит на отрезке $CD$, поэтому $OC+OD=CD$.
Применяя неравенство треугольника к треугольнику $ODF$, получим, что

$DF\lt OF+OD,~\mbox{или}~DF\lt OC+OD=CD.$

Что и требовалось доказать.