Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10501
2023-02-18 
В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=a$, $\angle BCD=\alpha$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $M$, где $M$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$.
Решение:
Вписанные углы $ACB$ и $BDC$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому $\angle ACB=\angle BDC$. Тогда
$\angle AMD=\angle MCD+\angle MDC=\angle ACD+\angle BDC=\angle ACD+\angle ACB=\angle NCD=\alpha.$
Пусть $R$ - радиус окружности, описанной около треугольника $AMB$. Тогда (см. задачу 8113)
$R=\frac{AB}{2\sin\angle(180^{\circ}-\angle AMD)}=\frac{AB}{2\sin\angle AMD}=\frac{a}{2\sin\alpha}.$
В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=a$, $\angle BCD=\alpha$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $M$, где $M$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$.
Решение:
Вписанные углы $ACB$ и $BDC$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому $\angle ACB=\angle BDC$. Тогда
$\angle AMD=\angle MCD+\angle MDC=\angle ACD+\angle BDC=\angle ACD+\angle ACB=\angle NCD=\alpha.$
Пусть $R$ - радиус окружности, описанной около треугольника $AMB$. Тогда (см. задачу 8113)
$R=\frac{AB}{2\sin\angle(180^{\circ}-\angle AMD)}=\frac{AB}{2\sin\angle AMD}=\frac{a}{2\sin\alpha}.$
