Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10504
2023-02-18 
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $M$ - точка пересечения его диагоналей. Через точку $M$ проходит прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ соответственно в точках $P_{1}$ и $Q_{1}$, а окружности, описанные около треугольников $ABM$ и $CDM$, - в точках $P_{2}$ и $Q_{2}$. Докажите, что $\frac{MP_{1}}{MP_{2}}=\frac{MQ_{1}}{MQ_{2}}$.
Решение:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, поэтому
$\angle DQ_{2}P_{2}=\angle DQ_{2}M=\angle DCM=\angle DCA=\angle DBA=\angle MBA=\angle MP_{2}A=\angle AQ_{2}P_{2}.$
Поскольку $\angle AP_{2}Q_{2}=\angle DCA$, из точек $P_{2}$ и $C$, лежащих по одну сторону от прямой $AQ_{1}$, отрезок $AQ_{1}$ виден под одним и тем же углом. Значит, четырёхугольник $AP_{2}CQ_{1}$ - вписанный (см. задачу 8103). Аналогично, поскольку $\angle DQ_{2}P_{2}=\angle DBA$, четырёхугольник $BQ_{2}DP_{1}$ - также вписанный.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 6098)
$MP_{2}\cdot MQ_{1}=MA\cdot MC=MB\cdot MD=MP_{1}\cdot MQ_{2}.$
Следовательно, $\frac{MP_{1}}{MP_{2}}=\frac{MQ_{1}}{MQ_{2}}$.
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $M$ - точка пересечения его диагоналей. Через точку $M$ проходит прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ соответственно в точках $P_{1}$ и $Q_{1}$, а окружности, описанные около треугольников $ABM$ и $CDM$, - в точках $P_{2}$ и $Q_{2}$. Докажите, что $\frac{MP_{1}}{MP_{2}}=\frac{MQ_{1}}{MQ_{2}}$.
Решение:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, поэтому
$\angle DQ_{2}P_{2}=\angle DQ_{2}M=\angle DCM=\angle DCA=\angle DBA=\angle MBA=\angle MP_{2}A=\angle AQ_{2}P_{2}.$
Поскольку $\angle AP_{2}Q_{2}=\angle DCA$, из точек $P_{2}$ и $C$, лежащих по одну сторону от прямой $AQ_{1}$, отрезок $AQ_{1}$ виден под одним и тем же углом. Значит, четырёхугольник $AP_{2}CQ_{1}$ - вписанный (см. задачу 8103). Аналогично, поскольку $\angle DQ_{2}P_{2}=\angle DBA$, четырёхугольник $BQ_{2}DP_{1}$ - также вписанный.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 6098)
$MP_{2}\cdot MQ_{1}=MA\cdot MC=MB\cdot MD=MP_{1}\cdot MQ_{2}.$
Следовательно, $\frac{MP_{1}}{MP_{2}}=\frac{MQ_{1}}{MQ_{2}}$.
