Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10506
2023-02-18 
На плоскости изображён выпуклый девятиугольник $A_{1}A_{2}\dots A_{9}$. Найдите сумму углов "звёздочки" $A_{1}A_{3}A_{5}A_{7}A_{9}A_{2}A_{4}A_{6}A_{8}$.
Решение:
Пусть $E_{1}$ - точка пересечения отрезков $A_{1}A_{3}$ и $A_{9}A_{2}$, $E_{2}$ - точка пересечения отрезков $A_{2}A_{4}$ и $A_{1}A_{3}$ и т.д., $E_{9}$ - точка пересечения отрезков $A_{8}A_{1}$ и $A_{9}A_{2}$.
Сумма внешних углов выпуклого девятиугольника $E_{1}E_{2}\dots E_{9}$, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^{\circ}$ (см. задачу 4950), т.е.
$\angle A_{1}E_{9}E_{1}+\angle A_{2}E_{1}E_{2}+\dots+\angle A_{8}E_{8}E_{9}=\angle A_{1}E_{1}E_{9}+\angle A_{2}E_{2}E_{1}+\dots+\angle A_{9}E_{9}E_{8}=360^{\circ}.$
Сумма всех углов треугольников $A_{1}E_{9}E_{1}$, $A_{2}E_{1}E_{2},\dots,A_{9}E_{8}E_{9}$ равна
$\angle A_{1}+\angle A_{2}+\dots+\angle A_{9}+360^{\circ}+360^{\circ}=9\cdot180^{\circ}.$
Следовательно, сумма углов "звёздочки" равна
$9\cdot180^{\circ}-2\cdot360^{\circ}=5\cdot180^{\circ}=900^{\circ}.$
На плоскости изображён выпуклый девятиугольник $A_{1}A_{2}\dots A_{9}$. Найдите сумму углов "звёздочки" $A_{1}A_{3}A_{5}A_{7}A_{9}A_{2}A_{4}A_{6}A_{8}$.
Решение:
Пусть $E_{1}$ - точка пересечения отрезков $A_{1}A_{3}$ и $A_{9}A_{2}$, $E_{2}$ - точка пересечения отрезков $A_{2}A_{4}$ и $A_{1}A_{3}$ и т.д., $E_{9}$ - точка пересечения отрезков $A_{8}A_{1}$ и $A_{9}A_{2}$.
Сумма внешних углов выпуклого девятиугольника $E_{1}E_{2}\dots E_{9}$, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^{\circ}$ (см. задачу 4950), т.е.
$\angle A_{1}E_{9}E_{1}+\angle A_{2}E_{1}E_{2}+\dots+\angle A_{8}E_{8}E_{9}=\angle A_{1}E_{1}E_{9}+\angle A_{2}E_{2}E_{1}+\dots+\angle A_{9}E_{9}E_{8}=360^{\circ}.$
Сумма всех углов треугольников $A_{1}E_{9}E_{1}$, $A_{2}E_{1}E_{2},\dots,A_{9}E_{8}E_{9}$ равна
$\angle A_{1}+\angle A_{2}+\dots+\angle A_{9}+360^{\circ}+360^{\circ}=9\cdot180^{\circ}.$
Следовательно, сумма углов "звёздочки" равна
$9\cdot180^{\circ}-2\cdot360^{\circ}=5\cdot180^{\circ}=900^{\circ}.$
