Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10505
2023-02-18 
Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведена прямая $l$, пересекающая биссектрису угла $A$ в точке $K$, и описанную около треугольника $ABC$ окружность - в точке $M$. Обозначим через $Q$ центр описанной около треугольника $AKC$ окружности. Докажите, что при изменении прямой $l$ окружность, проходящая через точки $Q$, $C$ и $M$, содержит фиксированную, отличную от $C$ точку. (Считаем, что $M$ отлична от $B$ и никакие из точек $Q$, $C$ и $M$ не совпадают.)
Решение:
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть $S$ - окружность, описанная около треугольника $ABC$, $s$ - окружность, описанная около треугольника $AKC$, $R$ - точка пересечения биссектрисы угла $A$ с серединным перпендикуляром к стороне $AC$. Обозначим $\angle BAC=\alpha$. Из равнобедренного треугольника $ARC$ находим, что
$\angle ARC=180^{\circ}-2\angle RAC=180^{\circ}-2\cdot\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}-\alpha.$
Вписанные в окружность $S$ углы $BMC$ и $BAC$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому
$\angle KMC=\angle BMC=\angle BAC=\alpha,$
а т.к. $KQC$ - центральный угол окружности $s$, а $KAC$ - соответствующий ему вписанный угол, то
$\angle KQC=2\angle KAC=2\cdot\frac{\alpha}{2}=\alpha=\angle KMC.$
Отрезок $CK$ виден из точек $Q$ и $M$, лежащих по одну сторону от прямой $CK$, под одним и тем же углом. Значит, точки $Q$, $M$, $C$, $K$ лежат на одной окружности (см. задачу 8103).
Кроме того,
$\angle KRC=\angle ARC=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\angle KMC,$
значит, четырёхугольник $KRCM$ - вписанный, и точки $K$, $R$, $C$ и $M$ также лежат на одной окружности. Через три точки $M$, $K$ и $C$, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, следовательно, все пять точек $M$, $K$, $C$, $Q$ и $R$ лежат на одной окружности. Таким образом, окружность, проходящая через точки $Q$, $C$ и $M$, содержит точку $R$.
Аналогично для остальных случаев.
Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведена прямая $l$, пересекающая биссектрису угла $A$ в точке $K$, и описанную около треугольника $ABC$ окружность - в точке $M$. Обозначим через $Q$ центр описанной около треугольника $AKC$ окружности. Докажите, что при изменении прямой $l$ окружность, проходящая через точки $Q$, $C$ и $M$, содержит фиксированную, отличную от $C$ точку. (Считаем, что $M$ отлична от $B$ и никакие из точек $Q$, $C$ и $M$ не совпадают.)
Решение:
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть $S$ - окружность, описанная около треугольника $ABC$, $s$ - окружность, описанная около треугольника $AKC$, $R$ - точка пересечения биссектрисы угла $A$ с серединным перпендикуляром к стороне $AC$. Обозначим $\angle BAC=\alpha$. Из равнобедренного треугольника $ARC$ находим, что
$\angle ARC=180^{\circ}-2\angle RAC=180^{\circ}-2\cdot\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}-\alpha.$
Вписанные в окружность $S$ углы $BMC$ и $BAC$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому
$\angle KMC=\angle BMC=\angle BAC=\alpha,$
а т.к. $KQC$ - центральный угол окружности $s$, а $KAC$ - соответствующий ему вписанный угол, то
$\angle KQC=2\angle KAC=2\cdot\frac{\alpha}{2}=\alpha=\angle KMC.$
Отрезок $CK$ виден из точек $Q$ и $M$, лежащих по одну сторону от прямой $CK$, под одним и тем же углом. Значит, точки $Q$, $M$, $C$, $K$ лежат на одной окружности (см. задачу 8103).
Кроме того,
$\angle KRC=\angle ARC=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\angle KMC,$
значит, четырёхугольник $KRCM$ - вписанный, и точки $K$, $R$, $C$ и $M$ также лежат на одной окружности. Через три точки $M$, $K$ и $C$, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, следовательно, все пять точек $M$, $K$, $C$, $Q$ и $R$ лежат на одной окружности. Таким образом, окружность, проходящая через точки $Q$, $C$ и $M$, содержит точку $R$.
Аналогично для остальных случаев.
