Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10503
2023-02-18 
В четырёхугольнике $ABCD$ выполняются равенства
$AB=BD,~\angle BAC=30^{\circ},~\angle BCA=31^{\circ},~\angle DBC=3^{\circ}.$
Найдите $\angle BDC$.
Решение:
Пусть $B_{1}$ - точка, симметричная вершине $B$ относительно прямой $AC$. Тогда
$AB=AB_{1},~\angle BAB_{1}=2\angle BAC=60^{\circ}.$
Значит, треугольник $ABB_{1}$ равносторонний, поэтому $BB_{1}=BA$. Кроме того, из равнобедренного треугольника $BCB_{1}$ с углом $62^{\circ}$ при вершине находим, что
$\angle B_{1}BC=\angle BB_{1}C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-62^{\circ})=59^{\circ}.$
На продолжении отрезка $B_{1}C$ за точку $C$ отметим точку $D_{1}$, для которой $BD_{1}=BB_{1}=BA$. Из равнобедренного треугольника $BD_{1}B_{1}$ получаем, что
$\angle BD_{1}B_{1}=\angle BB_{1}D_{1}=\angle BB_{1}C=59^{\circ}.$
Значит,
$\angle D_{1}BC=\angle BCB_{1}-\angle BD_{1}C=62^{\circ}-59^{\circ}=3^{\circ},$
и треугольники $CBD_{1}$ и $CBD$ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
$\angle BDC=\angle BD_{1}C=59^{\circ}.$
В четырёхугольнике $ABCD$ выполняются равенства
$AB=BD,~\angle BAC=30^{\circ},~\angle BCA=31^{\circ},~\angle DBC=3^{\circ}.$
Найдите $\angle BDC$.
Решение:
Пусть $B_{1}$ - точка, симметричная вершине $B$ относительно прямой $AC$. Тогда
$AB=AB_{1},~\angle BAB_{1}=2\angle BAC=60^{\circ}.$
Значит, треугольник $ABB_{1}$ равносторонний, поэтому $BB_{1}=BA$. Кроме того, из равнобедренного треугольника $BCB_{1}$ с углом $62^{\circ}$ при вершине находим, что
$\angle B_{1}BC=\angle BB_{1}C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-62^{\circ})=59^{\circ}.$
На продолжении отрезка $B_{1}C$ за точку $C$ отметим точку $D_{1}$, для которой $BD_{1}=BB_{1}=BA$. Из равнобедренного треугольника $BD_{1}B_{1}$ получаем, что
$\angle BD_{1}B_{1}=\angle BB_{1}D_{1}=\angle BB_{1}C=59^{\circ}.$
Значит,
$\angle D_{1}BC=\angle BCB_{1}-\angle BD_{1}C=62^{\circ}-59^{\circ}=3^{\circ},$
и треугольники $CBD_{1}$ и $CBD$ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
$\angle BDC=\angle BD_{1}C=59^{\circ}.$
