ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-09-19   
В системе, изображённой на рисунке, прикреплённые к невесомым пружинам грузики при помощи нитей удерживаются на расстояниях $L/2$ от стенок, к которым прикреплены концы пружин. Длины обеих пружин в недеформированном состоянии одинаковы и равны $L$. Нити одновременно пережигают, после чего грузики сталкиваются и слипаются. Найдите максимальную скорость, которую будут иметь грузики при колебаниях, возникших после этого столкновения. Удар при столкновении является центральным. Жёсткости пружин и массы грузиков указаны на рисунке. Трением и размерами грузиков пренебречь.



Решение:


Направим координатную ось $X$ вправо вдоль оси пружин и поместим начало координат посередине между стенками. Тогда после пережигания нитей левый грузик будет двигаться по закону $x_{1}(t) = - \frac{L}{2} \cos \left ( t \sqrt{ \frac{2k}{m}} \right )$, а правый — по закону $x_{2}(t) = \frac{L}{2} \cos \left ( t \sqrt{ \frac{k}{2m}} \right )$ (время $t$ отсчитывается от момента пережигания нитей). Грузики столкнутся через время $t_{0}$, которое определяется из условия $x_{1}(t) = x_{2}(t)$, откуда
получаем:

$- \frac{L}{2} \cos \left ( t_{0} \sqrt{ \frac{2k}{m}} \right ) = \frac{L}{2} \cos \left ( t_{0} \sqrt{ \frac{k}{2m}} \right )$.

Преобразовывая сумму косинусов в произведение, имеем:

$2 \cos \left ( \frac{1}{2} \left ( \sqrt{ \frac{2k}{m}} + \sqrt{ \frac{k}{2m}} \right ) t_{0} \right ) \cdot \cos \left ( \frac{1}{2} \left ( \sqrt{ \frac{2k}{m}} - \sqrt{ \frac{k}{2m}} \right ) t_{0} \right ) = 0$.

откуда

$ \cos \left ( \frac{1}{2} \left ( \sqrt{ \frac{2k}{m}} + \sqrt{ \frac{k}{2m}} \right ) t_{0} \right ) = 0$ или $ \cos \left ( \frac{1}{2} \left ( \sqrt{ \frac{2k}{m}} - \sqrt{ \frac{k}{2m}} \right ) t_{0} \right ) = 0$.

Из всех решений этой системы уравнений нужно выбрать наименьшее положительное. Оно получается из условия:

$ \frac{1}{2} \left ( \sqrt{ \frac{2k}{m}} + \sqrt{ \frac{k}{2m}} \right ) t_{0} = \frac{ \pi}{2}$,

откуда $t_{0} = \frac{ \pi}{3} \sqrt{ \frac{2m}{k}}$.

В момент столкновения грузики будут иметь координату

$x_{0} = \frac{L}{2} \cos \left ( t_{0} \sqrt{ \frac{k}{2m} } \right ) = \frac{L}{2} \cos \left ( \frac{ \pi}{3} \sqrt{ \frac{2m}{k}} \cdot \sqrt{ \frac{k}{2m} } \right ) = \frac{L}{4}$

Скорости $v_{1}$ левого и $v_{2}$ правого грузиков перед столкновением будут равны:

$v_{1} = \frac{L}{2} \sqrt{ \frac{2k}{m}} \sin \left ( t_{0} \sqrt{ \frac{2k}{m}} \right ) = \frac{L}{2} \sqrt{ \frac{2k}{m}} \sin \left ( \frac{ \pi}{3} \sqrt{ \frac{2m}{k}} \cdot \sqrt{ \frac{2k}{m}} \right ) = \frac{L}{2} \sqrt{ \frac{2k}{m}} \cdot \frac{ \sqrt{3}}{2}$;
$v_{2} = - \frac{L}{2} \sqrt{ \frac{k}{2m}} \sin \left ( t_{0} \sqrt{ \frac{k}{2m}} \right ) = - \frac{L}{2} \sqrt{ \frac{k}{2m}} \sin \left ( \frac{ \pi}{3} \sqrt{ \frac{2m}{k}} \cdot \sqrt{ \frac{k}{2m}} \right ) = - \frac{L}{2} \sqrt{ \frac{k}{2m}} \cdot \frac{ \sqrt{3}}{2} = - \frac{v_{1}}{2}$.

Скорость грузиков и непосредственно после соударения может быть найдена из закона сохранения импульса при абсолютно неупругом ударе:

$u= \frac{mv_{1} + 2mv_{2}}{m+2m}=0$.

Таким образом, скорость грузиков после удара равна нулю, а удлинения пружин в этот момент времени отличны от нуля и равны $x_{0} = L/4$. Следовательно, после столкновения слипшиеся грузики будут совершать гармонические колебания с амплитудой $x_{0}$ и с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{k+2k}{m+2m} } = \sqrt{ \frac{k}{m}}$. В процессе этих колебаний максимальная скорость грузиков будет равна

$V_{max} = \omega x_{0} = \frac{L}{4} \sqrt{ \frac{k}{m}}$.