Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1096
2016-09-19 
Трубка длиной $L$ с постоянным внутренним сечением в форме круга радиусом $R (R \ll L)$ свёрнута в кольцо. Кольцо неподвижно, а его ось горизонтальна. В трубку залили невязкую жидкость, объём которой $V < \pi R^{2}L$. Каков период малых колебаний жидкости вблизи положения равновесия?
Решение:
Полный объём трубки равен $\pi R^{2}L$. Поскольку целому кольцу соответствует угол $2 \pi$, то его части, занятой жидкостью, соответствует пропорционально
меньший угол
$\phi = 2 \pi \frac{V}{ \pi R^{2}L} = \frac{2V}{R^{2}L}$.
В положении равновесия верхний уровень жидкости находится в наклонной части трубки (см. рис.), причём угол наклона трубки к горизонту в этом месте равен
$\alpha = \pi - \frac{ \phi}{2} = \pi - \frac{V}{R^{2}L}$
Таким образом, наша задача свелась к известной задаче о колебаниях жидкости в $U$-образной трубке с наклонными коленами.
Обозначим длину столба жидкости в трубке через $l$, площадь поперечного сечения трубки — через $S$, плотность жидкости — через $\rho$. Пусть жидкость сместилась вдоль трубки на малое расстояние $x$ от положения равновесия. Тогда потенциальная энергия жидкости увеличится по сравнению с потенциальной энергией в положении равновесия на величину $U = \rho gS \sin \alpha \cdot x^{2}$. Кинетическая же энергия жидкости, движущейся в трубке со скоростью $v = \frac{dx}{dt}$, равна $W = \frac{ \rho Sl}{2} v^{2}$. Следовательно, данная система может совершать гармонические колебания, причём квадрат их круговой частоты равен отношению коэффициентов при $x^{2}$ в выражении для $U$ и при $v^{2}$ в выражении для $W$, то есть $\omega^{2} = \frac{2g \sin \alpha}{l}$. Учитывая, что $l = \frac{V}{ \pi R^{2}}$, и подставляя наиденное выше выражение для $\alpha$, получаем период малых колебаний жидкости в трубке:
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{2g \sin \alpha} } = \sqrt{ \frac{2 \pi V}{gR^{2} \sin \left ( \frac{V}{R^{2}L} \right ) } }$.
Трубка длиной $L$ с постоянным внутренним сечением в форме круга радиусом $R (R \ll L)$ свёрнута в кольцо. Кольцо неподвижно, а его ось горизонтальна. В трубку залили невязкую жидкость, объём которой $V < \pi R^{2}L$. Каков период малых колебаний жидкости вблизи положения равновесия?
Решение:
Полный объём трубки равен $\pi R^{2}L$. Поскольку целому кольцу соответствует угол $2 \pi$, то его части, занятой жидкостью, соответствует пропорционально
меньший угол
$\phi = 2 \pi \frac{V}{ \pi R^{2}L} = \frac{2V}{R^{2}L}$.
В положении равновесия верхний уровень жидкости находится в наклонной части трубки (см. рис.), причём угол наклона трубки к горизонту в этом месте равен
$\alpha = \pi - \frac{ \phi}{2} = \pi - \frac{V}{R^{2}L}$
Таким образом, наша задача свелась к известной задаче о колебаниях жидкости в $U$-образной трубке с наклонными коленами.
Обозначим длину столба жидкости в трубке через $l$, площадь поперечного сечения трубки — через $S$, плотность жидкости — через $\rho$. Пусть жидкость сместилась вдоль трубки на малое расстояние $x$ от положения равновесия. Тогда потенциальная энергия жидкости увеличится по сравнению с потенциальной энергией в положении равновесия на величину $U = \rho gS \sin \alpha \cdot x^{2}$. Кинетическая же энергия жидкости, движущейся в трубке со скоростью $v = \frac{dx}{dt}$, равна $W = \frac{ \rho Sl}{2} v^{2}$. Следовательно, данная система может совершать гармонические колебания, причём квадрат их круговой частоты равен отношению коэффициентов при $x^{2}$ в выражении для $U$ и при $v^{2}$ в выражении для $W$, то есть $\omega^{2} = \frac{2g \sin \alpha}{l}$. Учитывая, что $l = \frac{V}{ \pi R^{2}}$, и подставляя наиденное выше выражение для $\alpha$, получаем период малых колебаний жидкости в трубке:
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{2g \sin \alpha} } = \sqrt{ \frac{2 \pi V}{gR^{2} \sin \left ( \frac{V}{R^{2}L} \right ) } }$.
