Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1106
2016-09-19 
На горизонтальной поверхности лежит грузик массой $m$, соединённый с неподвижной вертикальной стенкой горизонтальной невесомой пружиной жёсткостью $k$. Коэффициент трения между грузом и поверхностью $\mu \ll 1$. Известно, что после начального отклонения от положения равновесия вдоль оси пружины отпущенный без начальной скорости грузик совершил много колебаний и прошёл до остановки путь $S$. Оцените время, которое занял процесс колебаний от начала движения грузика до полной его остановки, а также погрешность полученного результата. Считайте силу трения скольжения не зависящей от скорости и равной максимальной силе трения покоя.
Решение:
Запишем уравнение движения грузика в проекции на горизонтальную ось $X$, направленную вдоль оси пружины от стенки, используя обычную модель для описания зависимости силы трения скольжения от направления и величины скорости:
$ma_{x} = — kx — \mu mg sgn (v_{x})$.
Здесь $v_{x}$ и $a_{x}$ — проекции скорости и ускорения грузика, а функция $sgn (v_{x})$ («знак $v_{x}$») определяется следующим образом:
$sgn(v_{x}) = \begin{cases} + 1 & при v_{x} >0, \\ -1 & при v_{x} < 0. \end{cases}$
Следовательно, уравнение движения в зависимости от знака $v_{x}$ распадается на два разных уравнения:
$a_{x} + \frac{k}{m} \left ( x + \frac{ \mu mg}{k} \right ) = 0$ при $v_{x} > 0$,
$a_{x} + \frac{k}{m} \left ( x - \frac{ \mu mg}{k} \right ) = 0$ при $v_{x} < 0$,
Это — уравнения гармонических колебаний, происходящих с той же частотой $\omega = \sqrt{k/m}$, что и в отсутствие трения, но на каждом полупериоде колебаний (при смене знака $v_{x}$) у получающейся зависимости $x(t)$ смещается «нуль»: при $v_{x} > 0$ — в точку $x_{+} = — \mu mg/k$, а при $v_{x} < 0$ — в точку $x_{-} = + \mu mg/k$. По условию в начальный момент $(t = 0)$ у грузика имеется начальное смещение $x_{0}$, а его начальная скорость $v_{x0} = 0$. Таким образом, закон движения на каждом полу периоде — косинусоида с соответствующим образом смещённым «нулём». Зона между координатами $x_{-}$ и $x_{+}$ называется «зоной застоя».
Нарисуем график зависимости $x(t)$, считая, что на первом полупериоде колебаний $x_{0} > 0$, a $v_{x} < 0$ (см. рис.). Поскольку при этом «нуль» косинусоиды находится в точке $x_{-}$, то можно записать: $x_{0} — x_{-} = x_{-} — x_{1}$, где $|x_{1}|$ — амплитуда по истечении первого полупериода колебаний. Таким образом, за один полу период амплитуда уменьшается на величину
$\Delta x = x_{0} - |x_{1}| = 2x_{-} = 2 \frac{ \mu mg}{k} = const$.
Аналогичные рассуждения можно провести для любого полупериода колебаний. Поэтому можно утверждать, что с течением времени амплитуда колебаний при наличии сухого трения убывает по линейному закону. Это происходит до тех пор, пока очередная координата максимального отклонения (при которой изменяется знак скорости) не окажется внутри зоны застоя: $|x_{n}| \leq \mu mg/k$. При этом упругая сила уже не сможет преодолеть максимальную силу трения покоя: $k |x_{n}| \leq \mu mg$, и грузик остановится, совершив п полупериодов колебаний за время $\tau = n \frac{T}{2} = \frac{n \pi}{ \omega} = n \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
Для оценки числа $n$ воспользуемся законом изменения механической энергии. Вначале энергия упругой деформации пружины равна $kx_{0}^{2}/2$, а в конце, после остановки, она равна $kx_{n}^{2}/2$, так что работа против силы трения на пути $S$ равна по величине разности этих энергий:
$\mu mgS = \frac{kx_{0}^{2}}{2} - \frac{kx_{n}^{2}}{2}$.
Поскольку по условию $n \gg 1$ и $x_{0} \gg |x_{n}|$, то вторым слагаемым в правой части уравнения можно пренебречь, и
$x_{0} \approx \sqrt{ \frac{2 \mu mgS}{k} },$ а $n \approx \frac{x_{0}}{ \Delta x} \approx \sqrt{ \frac{kS}{2 \mu mg} }$.
Заметим, что ошибка в определении $n$, возникающая за счёт пренебрежения слагаемым $k x_{n}^{2} /2$, не превышает величины $\sim \frac{1}{8n} \ll 1$.
Таким образом, время, через которое грузик остановится, равно $\tau \approx \pi \sqrt{ \frac{m}{k}} \cdot \sqrt{ \frac{kS}{2 \mu mg} } = \pi \sqrt{ \frac{S}{2 \mu g} }$.
В зависимости от величины $x_{0}$, остановка грузика может произойти в любой точке внутри зоны застоя, то есть на расстоянии $|x_{n}| \leq \frac{ \mu mg}{k} = \frac{ \Delta x}{2}$ от положения равновесия, а по времени — на $\Delta \tau = \frac{T}{4} = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{m}{k} }$ раньше или позже момента времени $\tau$, когда амплитуда колебаний обращается в ноль.
Замечание. Время, которое займёт процесс колебаний, можно найти точно (квадратные скобки — обозначение целой части числа):
$\tau = \pi \sqrt{ \frac{m}{k}} \left [ \frac{1}{2} \left ( 1 + \sqrt{ 1 + \frac{2kS}{ \mu mg} } \right ) - \epsilon \right ]$, при $\epsilon —> 0$.
На горизонтальной поверхности лежит грузик массой $m$, соединённый с неподвижной вертикальной стенкой горизонтальной невесомой пружиной жёсткостью $k$. Коэффициент трения между грузом и поверхностью $\mu \ll 1$. Известно, что после начального отклонения от положения равновесия вдоль оси пружины отпущенный без начальной скорости грузик совершил много колебаний и прошёл до остановки путь $S$. Оцените время, которое занял процесс колебаний от начала движения грузика до полной его остановки, а также погрешность полученного результата. Считайте силу трения скольжения не зависящей от скорости и равной максимальной силе трения покоя.
Решение:
Запишем уравнение движения грузика в проекции на горизонтальную ось $X$, направленную вдоль оси пружины от стенки, используя обычную модель для описания зависимости силы трения скольжения от направления и величины скорости:
$ma_{x} = — kx — \mu mg sgn (v_{x})$.
Здесь $v_{x}$ и $a_{x}$ — проекции скорости и ускорения грузика, а функция $sgn (v_{x})$ («знак $v_{x}$») определяется следующим образом:
$sgn(v_{x}) = \begin{cases} + 1 & при v_{x} >0, \\ -1 & при v_{x} < 0. \end{cases}$
Следовательно, уравнение движения в зависимости от знака $v_{x}$ распадается на два разных уравнения:
$a_{x} + \frac{k}{m} \left ( x + \frac{ \mu mg}{k} \right ) = 0$ при $v_{x} > 0$,
$a_{x} + \frac{k}{m} \left ( x - \frac{ \mu mg}{k} \right ) = 0$ при $v_{x} < 0$,
Это — уравнения гармонических колебаний, происходящих с той же частотой $\omega = \sqrt{k/m}$, что и в отсутствие трения, но на каждом полупериоде колебаний (при смене знака $v_{x}$) у получающейся зависимости $x(t)$ смещается «нуль»: при $v_{x} > 0$ — в точку $x_{+} = — \mu mg/k$, а при $v_{x} < 0$ — в точку $x_{-} = + \mu mg/k$. По условию в начальный момент $(t = 0)$ у грузика имеется начальное смещение $x_{0}$, а его начальная скорость $v_{x0} = 0$. Таким образом, закон движения на каждом полу периоде — косинусоида с соответствующим образом смещённым «нулём». Зона между координатами $x_{-}$ и $x_{+}$ называется «зоной застоя».
Нарисуем график зависимости $x(t)$, считая, что на первом полупериоде колебаний $x_{0} > 0$, a $v_{x} < 0$ (см. рис.). Поскольку при этом «нуль» косинусоиды находится в точке $x_{-}$, то можно записать: $x_{0} — x_{-} = x_{-} — x_{1}$, где $|x_{1}|$ — амплитуда по истечении первого полупериода колебаний. Таким образом, за один полу период амплитуда уменьшается на величину
$\Delta x = x_{0} - |x_{1}| = 2x_{-} = 2 \frac{ \mu mg}{k} = const$.
Аналогичные рассуждения можно провести для любого полупериода колебаний. Поэтому можно утверждать, что с течением времени амплитуда колебаний при наличии сухого трения убывает по линейному закону. Это происходит до тех пор, пока очередная координата максимального отклонения (при которой изменяется знак скорости) не окажется внутри зоны застоя: $|x_{n}| \leq \mu mg/k$. При этом упругая сила уже не сможет преодолеть максимальную силу трения покоя: $k |x_{n}| \leq \mu mg$, и грузик остановится, совершив п полупериодов колебаний за время $\tau = n \frac{T}{2} = \frac{n \pi}{ \omega} = n \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
Для оценки числа $n$ воспользуемся законом изменения механической энергии. Вначале энергия упругой деформации пружины равна $kx_{0}^{2}/2$, а в конце, после остановки, она равна $kx_{n}^{2}/2$, так что работа против силы трения на пути $S$ равна по величине разности этих энергий:
$\mu mgS = \frac{kx_{0}^{2}}{2} - \frac{kx_{n}^{2}}{2}$.
Поскольку по условию $n \gg 1$ и $x_{0} \gg |x_{n}|$, то вторым слагаемым в правой части уравнения можно пренебречь, и
$x_{0} \approx \sqrt{ \frac{2 \mu mgS}{k} },$ а $n \approx \frac{x_{0}}{ \Delta x} \approx \sqrt{ \frac{kS}{2 \mu mg} }$.
Заметим, что ошибка в определении $n$, возникающая за счёт пренебрежения слагаемым $k x_{n}^{2} /2$, не превышает величины $\sim \frac{1}{8n} \ll 1$.
Таким образом, время, через которое грузик остановится, равно $\tau \approx \pi \sqrt{ \frac{m}{k}} \cdot \sqrt{ \frac{kS}{2 \mu mg} } = \pi \sqrt{ \frac{S}{2 \mu g} }$.
В зависимости от величины $x_{0}$, остановка грузика может произойти в любой точке внутри зоны застоя, то есть на расстоянии $|x_{n}| \leq \frac{ \mu mg}{k} = \frac{ \Delta x}{2}$ от положения равновесия, а по времени — на $\Delta \tau = \frac{T}{4} = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{m}{k} }$ раньше или позже момента времени $\tau$, когда амплитуда колебаний обращается в ноль.
Замечание. Время, которое займёт процесс колебаний, можно найти точно (квадратные скобки — обозначение целой части числа):
$\tau = \pi \sqrt{ \frac{m}{k}} \left [ \frac{1}{2} \left ( 1 + \sqrt{ 1 + \frac{2kS}{ \mu mg} } \right ) - \epsilon \right ]$, при $\epsilon —> 0$.
