Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1103
2016-09-19 
Маленький шарик закреплён на двух одинаковых пружинах, имеющих в растянутом состоянии длину $l$. Шарик толкнули, и он начал совершать периодическое движение малой амплитуды по траектории в форме «восьмёрки» (см. рисунок). При какой длине нерастянутой пружины $l_{0}$ такое движение возможно? Система находится в невесомости.
Решение:
Легко видеть, что движение по «восьмёрке» возможно тогда и только тогда, когда частота колебаний шарика в вертикальном направлении $\omega_{в}$ в два раза превышает частоту его колебаний в горизонтальном направлении $\omega_{г}$, то есть $\omega_{в} = 2 \omega{г}$.
Обозначим силы натяжения пружин через $T$, а их коэффициенты жёсткости через $k$; при этом $T = k(l — l_{0})$. Тогда при отклонении шарика в горизонтальном направлении на расстояние $x \ll l$ на него будет действовать горизонтальная возвращающая сила $F = — (2T/l)x$. Поэтому квадрат частоты горизонтальных колебаний равен $\omega_{г}^{2} = 2T/(ml)$. Для вертикальных колебаний, очевидно, получаем: $\omega_{в}^{2} = 2k/m$.
Поскольку $\omega_{в}^{2} = 4 \omega_{г}^{2}$, то $\frac{2k}{m} = 4 \cdot \frac{2k(l-l_{0})}{ml}$, или $1 — (l_{0}/l) = 1/4$. Следовательно, $l_{0} = (3/4)l$.
Маленький шарик закреплён на двух одинаковых пружинах, имеющих в растянутом состоянии длину $l$. Шарик толкнули, и он начал совершать периодическое движение малой амплитуды по траектории в форме «восьмёрки» (см. рисунок). При какой длине нерастянутой пружины $l_{0}$ такое движение возможно? Система находится в невесомости.
Решение:
Легко видеть, что движение по «восьмёрке» возможно тогда и только тогда, когда частота колебаний шарика в вертикальном направлении $\omega_{в}$ в два раза превышает частоту его колебаний в горизонтальном направлении $\omega_{г}$, то есть $\omega_{в} = 2 \omega{г}$.
Обозначим силы натяжения пружин через $T$, а их коэффициенты жёсткости через $k$; при этом $T = k(l — l_{0})$. Тогда при отклонении шарика в горизонтальном направлении на расстояние $x \ll l$ на него будет действовать горизонтальная возвращающая сила $F = — (2T/l)x$. Поэтому квадрат частоты горизонтальных колебаний равен $\omega_{г}^{2} = 2T/(ml)$. Для вертикальных колебаний, очевидно, получаем: $\omega_{в}^{2} = 2k/m$.
Поскольку $\omega_{в}^{2} = 4 \omega_{г}^{2}$, то $\frac{2k}{m} = 4 \cdot \frac{2k(l-l_{0})}{ml}$, или $1 — (l_{0}/l) = 1/4$. Следовательно, $l_{0} = (3/4)l$.
