Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1097
2016-09-19 
Вертикальная $U$-образная трубка постоянного поперечного сечения жёстко закреплена, и в неё налита ртуть. Период малых колебаний ртути в трубке равен $T_{1}$. В правое колено трубки наливают столько воды, что период малых колебаний системы становится равным $T_{2}$. Потом в левое колено наливают спирт в таком количестве, что период малых колебаний становится равным $T_{3}$. Каково соотношение масс ртути, воды и спирта? Плотности веществ равны $\rho_{1}, \rho_{2}$ и $\rho_{3}$ соответственно. Считайте, что ни вода, ни спирт не перетекают в соседние колена трубки.
Решение:
Обозначим массы ртути, воды и спирта через $m_{р}, m_{в}$ и $m_{с}$ соответственно. Пусть $S$ — площадь $U$-образной трубки, $x$ — смещение ртути от положения равновесия. Тогда уравнение колебаний ртути в трубке будет иметь вид: $m_{р} a = — 2 \rho_{1} gSx$, откуда для периода колебаний ртути получаем:
$T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{р}}{2 \rho_{1} gS} }$.
Если теперь записать уравнения колебаний для ртути и воды, а затем для ртути, воды и спирта, то получатся аналогичные выражения для периодов колебаний $T_{2}$ и $T_{3}$, в которых под корнем в числителе будет стоять суммарная масса жидкостей, а знаменатель не изменится. Неизменность знаменателя связана с тем, что вода и спирт не смешиваются со ртутью и не перетекают в другое колено, а значит, возвращающая сила, возникающая при смещении жидкостей из положения равновесия, обусловлена только перетеканием ртути из одного колена в другое. В итоге:
$T_{2} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{р}+m_{в}}{2 \rho_{1} gS} }, T_{3} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{р} + m_{в} + m_{с} }{2 \rho_{1} gS} }$.
Из написанных выражений для периодов находим:
$\frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}} = \frac{m_{р}+m_{в}}{m_{р}}, \frac{T_{3}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{m_{р}+m_{в}+m_{с}}{m_{р}+m_{в}}$
Вычитая из правой и левой частей последних уравнений единицу, получим:
$\frac{T_{2}^{2} - T_{1}^{2}}{T_{1}^{2}} = \frac{m_{в}}{m_{р}}, \frac{T_{3}^{2}-T_{2}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{m_{c}}{m_{h}+m_{d}}$.
Далее, комбинируя последние четыре уравнения, найдём:
$\frac{m_{р}+m_{в}}{T_{2}^{2}} = \frac{m_{с}}{T_{3}^{2}-T_{2}^{2}} = \frac{m_{р}}{T_{1}^{2}} = \frac{m_{в}}{T_{2}^{2} - T_{1}^{2}}$.
Отсюда
$m_{р}/m_{в}/m_{с} = T_{1}^{2}/(T_{2}^{2} - T_{1}^{2})/(T_{3}^{2} - T_{2}^{2})$.
Вертикальная $U$-образная трубка постоянного поперечного сечения жёстко закреплена, и в неё налита ртуть. Период малых колебаний ртути в трубке равен $T_{1}$. В правое колено трубки наливают столько воды, что период малых колебаний системы становится равным $T_{2}$. Потом в левое колено наливают спирт в таком количестве, что период малых колебаний становится равным $T_{3}$. Каково соотношение масс ртути, воды и спирта? Плотности веществ равны $\rho_{1}, \rho_{2}$ и $\rho_{3}$ соответственно. Считайте, что ни вода, ни спирт не перетекают в соседние колена трубки.
Решение:
Обозначим массы ртути, воды и спирта через $m_{р}, m_{в}$ и $m_{с}$ соответственно. Пусть $S$ — площадь $U$-образной трубки, $x$ — смещение ртути от положения равновесия. Тогда уравнение колебаний ртути в трубке будет иметь вид: $m_{р} a = — 2 \rho_{1} gSx$, откуда для периода колебаний ртути получаем:
$T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{р}}{2 \rho_{1} gS} }$.
Если теперь записать уравнения колебаний для ртути и воды, а затем для ртути, воды и спирта, то получатся аналогичные выражения для периодов колебаний $T_{2}$ и $T_{3}$, в которых под корнем в числителе будет стоять суммарная масса жидкостей, а знаменатель не изменится. Неизменность знаменателя связана с тем, что вода и спирт не смешиваются со ртутью и не перетекают в другое колено, а значит, возвращающая сила, возникающая при смещении жидкостей из положения равновесия, обусловлена только перетеканием ртути из одного колена в другое. В итоге:
$T_{2} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{р}+m_{в}}{2 \rho_{1} gS} }, T_{3} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{р} + m_{в} + m_{с} }{2 \rho_{1} gS} }$.
Из написанных выражений для периодов находим:
$\frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}} = \frac{m_{р}+m_{в}}{m_{р}}, \frac{T_{3}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{m_{р}+m_{в}+m_{с}}{m_{р}+m_{в}}$
Вычитая из правой и левой частей последних уравнений единицу, получим:
$\frac{T_{2}^{2} - T_{1}^{2}}{T_{1}^{2}} = \frac{m_{в}}{m_{р}}, \frac{T_{3}^{2}-T_{2}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{m_{c}}{m_{h}+m_{d}}$.
Далее, комбинируя последние четыре уравнения, найдём:
$\frac{m_{р}+m_{в}}{T_{2}^{2}} = \frac{m_{с}}{T_{3}^{2}-T_{2}^{2}} = \frac{m_{р}}{T_{1}^{2}} = \frac{m_{в}}{T_{2}^{2} - T_{1}^{2}}$.
Отсюда
$m_{р}/m_{в}/m_{с} = T_{1}^{2}/(T_{2}^{2} - T_{1}^{2})/(T_{3}^{2} - T_{2}^{2})$.
