2016-09-19
К штативу, установленному на тележке, на лёгкой нерастяжимой нити 1 подвешен маленький шарик массой $M$, к которому на лёгкой нерастяжимой нити 2 подвешен другой маленький шарик массой $m$ (см. рисунок). Под действием внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону с частотой $\omega$, тележка совершает малые колебания в горизонтальном направлении. При какой длине $L$ нити 2 нить 1 будет всё время оставаться строго вертикальной? Влиянием воздуха на движение тел пренебречь.
Решение:
Если нить 1 всё время остаётся строго вертикальной, то на систему из двух шариков и нити 2 внешние силы в горизонтальном направлении не действуют, и центр масс этой системы по горизонтали не смещается. Направим ось $X$ горизонтально, в направлении колебаний тележки, а начало координат поместим в точке, где находится центр масс системы из двух шариков: $x_{цм} = 0$. Обозначим координату шарика массой $M$ через $X(t)$, а шарика массой $m$ — через $x(t)$. Тогда $mx + MX = 0$.
При малых колебаниях угол $\alpha$ наклона нити 2 по отношению к вертикали мал: $| \alpha | \ll 1$, так что
$| \alpha | \approx \sin | \alpha | = \frac{|x|+|X|}{L} = \frac{m + M}{mL} |X|$.
Пусть $T$ — сила натяжения нити 2. Тогда для шарика массой $m$ получаем:
$mg = T \cos \alpha \approx T, T \sin | \alpha| \approx T | \alpha| = M \left | \right | = M \omega^{2} |X|$.
Отсюда $mg \frac{m + M}{mL} = M \omega^{2}$, и
$L = \frac{g}{ \omega^{2}} \left ( 1 + \frac{m}{M} \right )$