Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1098
2016-09-19 
Одно колено гладкой $U$-образной трубки с круглым внутренним сечением площадью $S$ вертикально, а другое наклонено к горизонту под углом $\alpha$. В трубку налили жидкость плотностью $\rho$ и массой $M$ так, что её уровень в наклонном колене выше, чем в вертикальном, которое закрыто лёгким поршнем, соединённым с вертикальной пружиной жёсткостью $k$ (см. рисунок). Найдите период малых колебаний этой системы. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
При малых колебаниях в отсутствие трения сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна: $W + U = const$. Для рассматриваемой системы $W = Mv^{2}/2 = M \dot{x}^{2}/2$, где $\dot{x}$ - скорость столба жидкости.
Будем отсчитывать смещение столба жидкости $x$ от равновесного положения поршня. В этом положении сила сжатия пружины $kx_{0}$ ($x_{0}$ — положение поршня при несжатой пружине) уравновешивается силой гидростатического давления $\rho ghS$ за счёт превышения уровня жидкости в наклонном колене на высоту $h$ над её уровнем в вертикальном колене. Тогда
$U = \frac{k(x_{0}-x)^{2}}{2} = \rho gS x \left ( h + \frac{X}{2} (1 + \sin \alpha) \right )$,
так как при смещении жидкости на малое расстояние $x$ от положения равновесия центр масс её элемента массой $\rho Sx$ поднимается на высоту $\frac{x}{2} + h + \frac{x}{2} \sin \alpha$ (см. рис.). Таким образом,
$\frac{M( \dot{x})^{2}}{2} + \frac{k (x_{0} - x)^{2}}{2} + \rho gS (1 + \sin \alpha) \frac{x^{2}}{2} + \rho gShx = const$,
Дифференцируя это соотношение по времени и обозначая ускорение столба жидкости через $\ddot{x} \equiv d \dot{x}/dt$, имеем:
$M \dot{x} \ddot{x} + (k + \rho gS(1 + \sin \alpha)) \dot{x} x + \rho gShx — k \dot{x} x_{0} = 0$.
Поскольку, как уже отмечалось, $kx_{2} = \rho gSh$, получаем отсюда уравнение движения столба жидкости:
$\ddot{x} + \frac{k + \rho gS(1 + \sin \alpha)}{M} x = 0$,
которое представляет собой уравнение гармонических колебаний. Следовательно, период малых колебаний рассматриваемой системы равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k + \rho gS(1 + \sin \alpha)} }$.
Одно колено гладкой $U$-образной трубки с круглым внутренним сечением площадью $S$ вертикально, а другое наклонено к горизонту под углом $\alpha$. В трубку налили жидкость плотностью $\rho$ и массой $M$ так, что её уровень в наклонном колене выше, чем в вертикальном, которое закрыто лёгким поршнем, соединённым с вертикальной пружиной жёсткостью $k$ (см. рисунок). Найдите период малых колебаний этой системы. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
При малых колебаниях в отсутствие трения сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна: $W + U = const$. Для рассматриваемой системы $W = Mv^{2}/2 = M \dot{x}^{2}/2$, где $\dot{x}$ - скорость столба жидкости.
Будем отсчитывать смещение столба жидкости $x$ от равновесного положения поршня. В этом положении сила сжатия пружины $kx_{0}$ ($x_{0}$ — положение поршня при несжатой пружине) уравновешивается силой гидростатического давления $\rho ghS$ за счёт превышения уровня жидкости в наклонном колене на высоту $h$ над её уровнем в вертикальном колене. Тогда
$U = \frac{k(x_{0}-x)^{2}}{2} = \rho gS x \left ( h + \frac{X}{2} (1 + \sin \alpha) \right )$,
так как при смещении жидкости на малое расстояние $x$ от положения равновесия центр масс её элемента массой $\rho Sx$ поднимается на высоту $\frac{x}{2} + h + \frac{x}{2} \sin \alpha$ (см. рис.). Таким образом,
$\frac{M( \dot{x})^{2}}{2} + \frac{k (x_{0} - x)^{2}}{2} + \rho gS (1 + \sin \alpha) \frac{x^{2}}{2} + \rho gShx = const$,
Дифференцируя это соотношение по времени и обозначая ускорение столба жидкости через $\ddot{x} \equiv d \dot{x}/dt$, имеем:
$M \dot{x} \ddot{x} + (k + \rho gS(1 + \sin \alpha)) \dot{x} x + \rho gShx — k \dot{x} x_{0} = 0$.
Поскольку, как уже отмечалось, $kx_{2} = \rho gSh$, получаем отсюда уравнение движения столба жидкости:
$\ddot{x} + \frac{k + \rho gS(1 + \sin \alpha)}{M} x = 0$,
которое представляет собой уравнение гармонических колебаний. Следовательно, период малых колебаний рассматриваемой системы равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k + \rho gS(1 + \sin \alpha)} }$.
