Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1099
2016-09-19 
К внутренней поверхности тонкостенного обруча прикреплён небольшой шарик (см. рисунок). Масса обруча равна $M$, масса шарика $m$ ($m$ и $M$ одного порядка), радиус обруча $R$. Обруч может без проскальзывания кататься по горизонтальной поверхности. Чему равен период колебаний обруча около положения равновесия в случае малых амплитуд? Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Обозначим малое смещение центра обруча при его перекатывании через $x$ (см. рис.), а скорость центра — через $v$. Потенциальная энергия обруча с прикреплённым к нему шариком изменится при таком смещении на $\Delta U = mgR( 1 — \cos \frac{x}{R}) \approx mg \cdot \frac{x^{2}}{2R}$. Так как $m$ и $M$ одного порядка, то при $x \ll R$ скорость шарика мала по сравнению с $v$, и кинетической энергией шарика можно пренебречь. Кинетическая же энергия $W$ катящегося обруча складывается из кинетической энергии поступательного движения его центра $W_{п} = Mv^{2}/2$ и кинетической энергии вращательного движения вокруг центра $W_{в} = Mv^{2}/2$. Таким образом, $W = W_{п} + W_{в} = Mv^{2}$. С учётом этого, из закона сохранения механической энергии получаем:
$W + U = Mv^{2} + \frac{mg}{R} \cdot \frac{x^{2}}{2} = const$.
Отсюда видно, что данная система колеблется так же, как груз массой $2M$ на пружине с коэффициентом жёсткости, равным $mg/R$. Следовательно, период малых колебаний рассматриваемой системы равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{2MR}{mg} }$.
Отметим, что приведённое решение совершенно неприменимо при $M \rightarrow 0$. Полученное нами выражение для периода даёт в этом случае $T \rightarrow 0$, что неверно. Можно показать, что при невесомом обруче любые, даже сколь угодно малые, колебания данной системы не являются гармоническими, а их период зависит от амплитуды. При решении такой задачи уже необходимо учитывать кинетическую энергию шарика, которой мы пренебрегали.
К внутренней поверхности тонкостенного обруча прикреплён небольшой шарик (см. рисунок). Масса обруча равна $M$, масса шарика $m$ ($m$ и $M$ одного порядка), радиус обруча $R$. Обруч может без проскальзывания кататься по горизонтальной поверхности. Чему равен период колебаний обруча около положения равновесия в случае малых амплитуд? Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Обозначим малое смещение центра обруча при его перекатывании через $x$ (см. рис.), а скорость центра — через $v$. Потенциальная энергия обруча с прикреплённым к нему шариком изменится при таком смещении на $\Delta U = mgR( 1 — \cos \frac{x}{R}) \approx mg \cdot \frac{x^{2}}{2R}$. Так как $m$ и $M$ одного порядка, то при $x \ll R$ скорость шарика мала по сравнению с $v$, и кинетической энергией шарика можно пренебречь. Кинетическая же энергия $W$ катящегося обруча складывается из кинетической энергии поступательного движения его центра $W_{п} = Mv^{2}/2$ и кинетической энергии вращательного движения вокруг центра $W_{в} = Mv^{2}/2$. Таким образом, $W = W_{п} + W_{в} = Mv^{2}$. С учётом этого, из закона сохранения механической энергии получаем:
$W + U = Mv^{2} + \frac{mg}{R} \cdot \frac{x^{2}}{2} = const$.
Отсюда видно, что данная система колеблется так же, как груз массой $2M$ на пружине с коэффициентом жёсткости, равным $mg/R$. Следовательно, период малых колебаний рассматриваемой системы равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{2MR}{mg} }$.
Отметим, что приведённое решение совершенно неприменимо при $M \rightarrow 0$. Полученное нами выражение для периода даёт в этом случае $T \rightarrow 0$, что неверно. Можно показать, что при невесомом обруче любые, даже сколь угодно малые, колебания данной системы не являются гармоническими, а их период зависит от амплитуды. При решении такой задачи уже необходимо учитывать кинетическую энергию шарика, которой мы пренебрегали.
