2016-09-19
В системе, изображённой на рисунке, массы грузов равны $m$, жёсткость пружины $k$. Пружина и нить невесомы, трения нет. В начальный момент грузы неподвижны, и система находится в равновесии. Затем, удерживая левый груз, смещают правый вниз на расстояние $a$, после чего их отпускают без начальной скорости. Найдите максимальную скорость левого груза в процессе колебаний, считая, что нити всё время остаются натянутыми, а грузы не ударяются об остальные тела системы.
Решение:
Из равенства масс грузов следует, что в процессе колебаний, возникших после отпускания грузов, центр пружины остаётся неподвижным. Поэтому данная задача эквивалентна задаче о поиске максимальной скорости груза массой $m$, висящего на пружине жёсткостью $2k$, после его начального смещения вниз на расстояние $a/2$ и последующего отпускания.
После отпускания груза он под действием силы упругости начнёт двигаться вверх. Его скорость будет максимальной тогда, когда он будет проходить через положение равновесия, то есть когда сила упругости станет равной силе тяжести, действующей на груз. Искомая максимальная скорость равна произведению круговой частоты колебаний $\omega = \sqrt{ \frac{2k}{m}}$ на их амплитуду $a/2$, поэтому $v_{max} = a \sqrt{ \frac{k}{2m}}$.