Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1104
2016-09-19 
Верхний конец жёсткого вертикального металлического стержня длиной $l$ колеблется с малой амплитудой $a$ и большой частотой $\omega$, в то время как нижний его конец шарнирно закреплён. На стержень надето и припаяно на равных расстояниях друг от друга большое количество маленьких колец. В некоторый момент времени стержень сильно нагревают, припой расплавляется, и кольца получают возможность свободно двигаться вдоль стержня. Какая часть колец останется на стержне через большой промежуток времени?
Решение:
Рассмотрим движение одного кольца, прикреплённого к стержню на расстоянии $H$ от его нижнего конца. В тот момент, когда горизонтальная скорость кольца при его колебаниях вместе со стержнем равна $v$, центростремительное ускорение этого кольца равно $v^{2}/N$, и касательная составляющая силы его давления на стержень $T = mg — (mv^{2}/H)$. Усредняя это равенство по времени за период колебаний и учитывая, что верхний конец стержня совершает гармонические колебания $x = a \sin \omega t$, то есть скорость рассматриваемого кольца изменяется со временем $t$ по закону $v = \omega(aH/l) \cos \omega t$, получаем:
$< T > = mg - \frac{m < v^{2} >}{H} = mg - \frac{mv_{max}^{2}}{2H} = mg - \frac{m( \omega aH/l)^{2}}{2H} = m \left ( g - \frac{ \omega^{2} a^{2} H}{2l^{2}} \right )$.
Здесь $v_{max} = \omega aH/l$ — максимальное значение скорости рассматриваемого кольца при колебаниях, а угловыми скобками обозначена операция усреднения по времени.
Из полученного выражения видно, что при достаточно больших частотах и не слишком малой по сравнению с $l$ величине $H$ касательная составляющая силы давления кольца на стержень становится в среднем за период отрицательной, то есть направленной вверх. Следовательно, при $H > \frac{2gl^{2}}{ \omega^{2} a^{2}}$ кольцо стремится подняться вверх, что непременно и сделает после освобождения. Таким образом, кольца, отстоящие от нижнего конца стержня на расстояние, превышающее $H_{0} \approx \frac{2gl^{2}}{ \omega^{2}a^{2}}$, слетят с верхнего конца стержня через некоторое время после расплавления припоя, а остальные останутся и упадут вниз, к шарниру. Поэтому часть (доля) колец, которая останется на стержне, равна $ma = - kx + F_{тр}(v)$.
Верхний конец жёсткого вертикального металлического стержня длиной $l$ колеблется с малой амплитудой $a$ и большой частотой $\omega$, в то время как нижний его конец шарнирно закреплён. На стержень надето и припаяно на равных расстояниях друг от друга большое количество маленьких колец. В некоторый момент времени стержень сильно нагревают, припой расплавляется, и кольца получают возможность свободно двигаться вдоль стержня. Какая часть колец останется на стержне через большой промежуток времени?
Решение:
Рассмотрим движение одного кольца, прикреплённого к стержню на расстоянии $H$ от его нижнего конца. В тот момент, когда горизонтальная скорость кольца при его колебаниях вместе со стержнем равна $v$, центростремительное ускорение этого кольца равно $v^{2}/N$, и касательная составляющая силы его давления на стержень $T = mg — (mv^{2}/H)$. Усредняя это равенство по времени за период колебаний и учитывая, что верхний конец стержня совершает гармонические колебания $x = a \sin \omega t$, то есть скорость рассматриваемого кольца изменяется со временем $t$ по закону $v = \omega(aH/l) \cos \omega t$, получаем:
$< T > = mg - \frac{m < v^{2} >}{H} = mg - \frac{mv_{max}^{2}}{2H} = mg - \frac{m( \omega aH/l)^{2}}{2H} = m \left ( g - \frac{ \omega^{2} a^{2} H}{2l^{2}} \right )$.
Здесь $v_{max} = \omega aH/l$ — максимальное значение скорости рассматриваемого кольца при колебаниях, а угловыми скобками обозначена операция усреднения по времени.
Из полученного выражения видно, что при достаточно больших частотах и не слишком малой по сравнению с $l$ величине $H$ касательная составляющая силы давления кольца на стержень становится в среднем за период отрицательной, то есть направленной вверх. Следовательно, при $H > \frac{2gl^{2}}{ \omega^{2} a^{2}}$ кольцо стремится подняться вверх, что непременно и сделает после освобождения. Таким образом, кольца, отстоящие от нижнего конца стержня на расстояние, превышающее $H_{0} \approx \frac{2gl^{2}}{ \omega^{2}a^{2}}$, слетят с верхнего конца стержня через некоторое время после расплавления припоя, а остальные останутся и упадут вниз, к шарниру. Поэтому часть (доля) колец, которая останется на стержне, равна $ma = - kx + F_{тр}(v)$.
