Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1100
2016-09-19 
На обруч намотана нерастяжимая невесомая нить, один конец которой прикреплён к потолку непосредственно, а другой через невесомую пружину (см. рисунок). Масса обруча равна $m$, жёсткость пружины $k$. Если обруч немного сместить из положения равновесия вниз и отпустить, то возникнут колебания, при которых обруч будет двигаться вертикально и при этом вращаться. Найдите частоту этих колебаний.
Решение:
Обозначим длину пружины в недеформированном состоянии через $l_{0}$, а в положении равновесия — через $l_{1}$. Условие равновесия обруча имеет вид:
$mg = 2T = 2k(l_{1} - l_{0})$,
где $T$ — сила натяжения нити, перекинутой через обруч.
Пусть в процессе колебаний центр обруча сместился вниз от положения равновесия на расстояние $x$ и приобрёл при этом скорость $v = dx/dt$. Тогда потенциальная энергия системы с учётом условия равновесия станет равной
$U = - mgx + \frac{k}{2} ((l_{1} - l_{0} + 2x)^{2} - (l_{1} - l_{0})^{2}) = -mgx + 2kx(l_{1} - l_{0}) + 2kx^{2} = 2kx^{2}$
(за начало отсчёта потенциальной энергии выбрано положение равновесия оси обруча). Кинетическая энергия обруча, как и в предыдущей задаче, складывается из энергий его поступательного и вращательного движений и равна
$W = W_{п} + W_{в} = mv^{2}$.
Отсюда для круговой частоты колебаний $\omega$ получаем: $\omega = \sqrt{ \frac{2k}{m}}$.
На обруч намотана нерастяжимая невесомая нить, один конец которой прикреплён к потолку непосредственно, а другой через невесомую пружину (см. рисунок). Масса обруча равна $m$, жёсткость пружины $k$. Если обруч немного сместить из положения равновесия вниз и отпустить, то возникнут колебания, при которых обруч будет двигаться вертикально и при этом вращаться. Найдите частоту этих колебаний.
Решение:
Обозначим длину пружины в недеформированном состоянии через $l_{0}$, а в положении равновесия — через $l_{1}$. Условие равновесия обруча имеет вид:
$mg = 2T = 2k(l_{1} - l_{0})$,
где $T$ — сила натяжения нити, перекинутой через обруч.
Пусть в процессе колебаний центр обруча сместился вниз от положения равновесия на расстояние $x$ и приобрёл при этом скорость $v = dx/dt$. Тогда потенциальная энергия системы с учётом условия равновесия станет равной
$U = - mgx + \frac{k}{2} ((l_{1} - l_{0} + 2x)^{2} - (l_{1} - l_{0})^{2}) = -mgx + 2kx(l_{1} - l_{0}) + 2kx^{2} = 2kx^{2}$
(за начало отсчёта потенциальной энергии выбрано положение равновесия оси обруча). Кинетическая энергия обруча, как и в предыдущей задаче, складывается из энергий его поступательного и вращательного движений и равна
$W = W_{п} + W_{в} = mv^{2}$.
Отсюда для круговой частоты колебаний $\omega$ получаем: $\omega = \sqrt{ \frac{2k}{m}}$.
