Окружности $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ имеют общую хорду $PQ$. Через переменную точку $A$ окружности $\Gamma_{1}$ проведены прямые $AP$ и $AQ$, вторично пересекающие окружность $\Gamma_{2}$ в точках $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на некоторой фиксированной окружности
Подробнее
На катетах $AB$ и $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ вне треугольника построены квадраты $ABDE$ и $ACFG$. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BF$ и $AC$ - в точке $Q$. Докажите, что:
а) $AP=AQ$;
б) $BP:CQ=AB^{2}:AC^{2}$;
в) прямые $CD$, $BF$ и высота $AL$ треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке;
г) если $M$ - точка пересечения прямых $DE$ и $GF$, то $AM\perp BC$, а прямые $AM$, $DC$ и $BF$ пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с точкой $H$ пересечения прямых $CD$, $BF$ и $AL$;
д) $\frac{1}{AH}=\frac{1}{AL}+\frac{1}{BC}$;
е) $BD'=FF'$, где $D'$ и $F'$ - проекции точек соответственно $D$ и $F$ на прямую $BC$;
ж) $DD'+FF'=BC$
Подробнее
Точка $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$, точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, причём $BP:PQ:QC=AC:CB:BA$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$ и $O$ лежат на одной окружности
Подробнее
Докажите, что
$\sin\beta\sin\gamma\leq1-\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}},$
где $a$, $b$ и $c$ - стороны треугольника, а $\beta$ и $\gamma$ - углы, противолежащие сторонам $b$ и $c$ соответственно
Подробнее
Стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Докажите, что величина $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ содержится между $\frac{3}{2}$ и 2. Можно ли улучшить эти границы
Подробнее
Из точки $P$, лежащей внутри остроугольного треугольника $ABC$, опущены перпендикуляры $PD$, $PE$ и $PF$ на стороны $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Найдите геометрическое место точек $P$, для которых треугольник $DEF$ равнобедренный. Для каких $P$ этот треугольник равносторонний
Подробнее
Прямая, параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в их внутренних точках $M$ и $P$ соответственно, $D$ - точка пересечения отрезков $AP$ и $BM$. Докажите, что прямая, проходящая через ортоцентры треугольников $ADM$ и $BDP$, перпендикулярна прямой $CD$
Подробнее
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. Известно, что $BD=AC$, $\angle ADC=30^{\circ}$ и $\angle ACB=48^{\circ}$. Найдите угол $B$
Подробнее
Треугольники $ADB$ и $AEC$, расположенные вне треугольника $ABC$, - равнобедренные и прямоугольные с прямыми углами при вершинах $D$ и $E$ соответственно. Точка $F$ - середина стороны $BC$. Докажите, что треугольник $DFE$ - равнобедренный и прямоугольный
Подробнее
Докажите, что в любом треугольнике радиус каждой вневписанной окружности меньше учетверённого радиуса описанной окружности
Подробнее
Точки $D$ и $E$ лежат на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Прямая, проведённая через точку $D$ параллельно $AC$, пересекает сторону $AB$ в точке $F$, а прямая, проведённая через точку $E$ параллельно $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $G$. Пусть $P$ и $Q$ - точки пересечения прямой $FG$ с описанной окружностью треугольника $ABC$. Докажите, что точки $D$, $E$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности
Подробнее
В треугольнике $ABC$ с острыми углами при вершинах $A$ и $C$ проведена высота $BD$. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника при вершине $A$ пересекают прямую $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Известно, что $BC$ - биссектриса внешнего угла при вершине $B$ треугольника $ABD$. Докажите, что $AE=AF$
Подробнее
Две перпендикулярные хорды разбивают круг радиуса $R$ на четыре криволинейных треугольника. В каждый из них вписаны окружности радиусов $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ и $r_{4}$. Докажите, что
$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}\leq4(\sqrt{2}-1)R$.
Подробнее
Четырёхугольник $ABCD$ ($AD\lt CD$) вписан а окружность $\Gamma$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Точка $M$ лежит на отрезке $EC$, причём $\angle CBM=\angle ACD$. Докажите, что описанная окружность треугольника $BME$ касается окружности $\Gamma$ в точке $B$
Подробнее
Пусть $B$ и $C$ - фиксированные точки, а $A$ - произвольная точка, из которой отрезок $BC$ виден под фиксированным углом; $F$ и $G$ - середины отрезков $AB$ и $AC$ соответственно, причём $FD\perp AB$, $GE\perp AC$, а $FB$ и $GC$ - перпендикуляры к $BC$. Докажите, что произведение $BF\cdot CG$ не зависит от положения точки $A$
Подробнее
