ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$. На продолжении гипотенузы $BC$ за точку $C$ отложен отрезок $CD=CB+BA$. Биссектриса угла $ABC$ пересекает прямую, проходящую через середины катетов $AB$ и $AC$, в точке $T$. Докажите, что $\angle ACT=\angle ADC$


Решение:


Обозначим $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$. Пусть $M$ и $N$ - середины катетов $AB$ и $AC$ соответственно, а $P$ - точка пересечения прямых $MN$ и $AD$.
Поскольку $MN$ - средняя линия треугольника, $MN=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$ и $MN\parallel BC$. Тогда по теореме Фалеса $P$ - середина $AD$, поэтому

$NP=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(CB+BA)=\frac{a+c}{2}.$


Поскольку $BT$ - биссектриса угла $MAC$ и $MT\parallel BC$, то

$\angle MBT=\angle CBT=\angle BTM,$

поэтому треугольник $AMT$ равнобедренный, $BM=MT$. Значит,

$NT=MN-MT=MN-MB=\frac{a}{2}-\frac{c}{2}=\frac{a-c}{2}.$

Тогда

$NT\cdot NP=\frac{a-c}{2}\cdot\frac{a+c}{2}=\frac{a^{2}-c^{2}}{4}=\frac{b^{2}}{4}=\frac{b}{2}\cdot\frac{b}{2}=NA\cdot NC,$

поэтому точки $A$, $T$, $C$ и $P$ лежат на одной окружности (см. задачу 3921). Вписанные в эту окружность углы $ACT$ и $APT$ опираются на одну и ту же дугу. Следовательно,

$\angle ACT=\angle APT=\angle ADC.$

Что и требовалось доказать