ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Хорда $AB$ окружности с центром $O$ не является диаметром. Меньшая дуга $AB$ этой окружности разделена на три равные дуги $AC$, $CD$ и $DB$. Хорда $AB$ разделена на три равных отрезка $AC'$, $C'D'$ и $D'B$. Пусть $P$ - точка пересечения прямых $CC'$ и $DD'$. Докажите, что $\angle APB=\frac{1}{3}\angle AOB$


Решение:


Поскольку дуги $AC$ и $BD$ равны, прямые $AB$ и $CD$ параллельны (см. примечание к задаче 5282). Пусть прямые $PA$ и $PB$ пересекают прямую $CD$ в точках $A'$ и $B'$ соответственно. Тогда треугольник $PAC'$ подобен треугольнику $PA'C$ и треугольник $PC'D'$ подобен треугольнику $PCD$, поэтому

$\frac{AC'}{A'C}=\frac{PC'}{PC}=\frac{C'D'}{CD},$

а т.к. $AC'=C'D$, то $A'C=CD=AC$. Значит,

$\angle BAC=\angle ACA'=180^{\circ}-\angle CAA'-\angle CA'A=180^{\circ}-2\angle CA'A=180^{\circ}-\angle CA'A-\angle BB'D=\angle APB,$

а т.к. точки $C$ и $D$ делят дугу $AB$ на три равные части, то

$\angle APB=\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\angle AOB=\frac{1}{3}\angle AOB$.