ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Пусть точки $A$ и $B$ лежат на данных лучах с началом $C$, и при этом сумма $CA+CB$ постоянна. Докажите, что существует точка $D$, которая лежит на описанной окружности треугольника $ABC$ при любом таком положении точек $A$ и $B$


Решение:


Пусть $A$ и $B$ - фиксированные точки данных лучей, $\Gamma$ - описанная окружность треугольника $ABC$, а биссектриса угла $ACB$ пересекает $\Gamma$ в точке $D$. Докажем, что $D$ - искомая точка из условия задачи.
Пусть точка $A'$ лежит на продолжении отрезка $CA$ за точку $A$, точка $B'$ - на отрезке $CB$, и при этом $AA'=BB'$. Тогда достаточно доказать, что точка $D$ лежит также на описанной окружности треугольника $A'CB'$.
Поскольку $DA=DB$, $AA'=BB'$ и $\angle DAA'=\angle DBB'$ (т.к. $ACBD$ - вписанный четырёхугольник), то треугольники $ADA'$ и $BDB'$ равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$\angle CA'D=\angle AA'D=\angle BB'D,$

поэтому четырёхугольник $A'DB'C$ - вписанный. Следовательно, точка $D$, лежащая на окружности $\Gamma$, лежит и на описанной окружности треугольника $A'CB'$. Что и требовалось доказать