Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16493
2026-02-19 
Пусть $O$ - центр окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$, точка $D$ - середина отрезка $AB$, а $E$ - точка пересечения медиан треугольника $ACD$. Докажите, что прямые $CD$ и $OE$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $AB=AC$
Решение:
Пусть $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$. Тогда (см. задачу 7643)
$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=\frac{1}{6}(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}),$
$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}((\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}))=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}).$
Прямые $CD$ и $OE$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{OE}\cdot\overrightarrow{CD}=0$. Учитывая, что
$\overrightarrow{a}^{2}=\overrightarrow{b}^{2}=\overrightarrow{c}^{2},$
получим
$(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c})=0~\Leftrightarrow~\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=0~\Leftrightarrow~\overrightarrow{OA}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=0~\Leftrightarrow~\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=0~\Leftrightarrow~OA\perp BC~\Leftrightarrow~AB=AC$.
Пусть $O$ - центр окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$, точка $D$ - середина отрезка $AB$, а $E$ - точка пересечения медиан треугольника $ACD$. Докажите, что прямые $CD$ и $OE$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $AB=AC$
Решение:
Пусть $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$. Тогда (см. задачу 7643)
$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=\frac{1}{6}(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}),$
$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}((\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}))=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}).$
Прямые $CD$ и $OE$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{OE}\cdot\overrightarrow{CD}=0$. Учитывая, что
$\overrightarrow{a}^{2}=\overrightarrow{b}^{2}=\overrightarrow{c}^{2},$
получим
$(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c})=0~\Leftrightarrow~\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=0~\Leftrightarrow~\overrightarrow{OA}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=0~\Leftrightarrow~\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=0~\Leftrightarrow~OA\perp BC~\Leftrightarrow~AB=AC$.
