ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Угол при вершине $C$ треугольника $ABC$ равен $30^{\circ}$. Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AC$ и $BC$ соответственно, причём $AD=BE=AB$. Докажите, что $OI=DE$ и $OI\perp DE$, где $O$ и $I$ - центры соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника


Решение:



Решим более общую задачу. Обозначим $\angle C=\gamma$, $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ ($c\lt a$, $c\lt b$), $p$ - полупериметр треугольника $ABC$. Пусть $F$ и $G$ - проекции точки $O$ на прямые $BC$ и $AC$ соответственно, а $H$ и $K$ - проекции точки $I$ на прямые $BC$ и $AC$ соответственно. Тогда (см. задачу 4014)

$HF=BF-BH=\frac{a}{2}-(p-b)=\frac{b-c}{2}=\frac{AC-AB}{2}=\frac{AC-AD}{2}=\frac{1}{2}CD.$

Аналогично, $KG=\frac{1}{2}CE$.
Пусть продолжения отрезков $GO$ и $IH$ пересекаются в точке $L$. Тогда $\angle OLI=\angle C$ (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), а если $IT$ - высота треугольника $OLI$, то $ITGK$ - прямоугольник, поэтому $TI=GK$. Значит,

$LI=\frac{IT}{\sin\gamma}=\frac{GK}{\sin\gamma}=\frac{CE}{2\sin\gamma}.$

Аналогично, $LO=\frac{CD}{2\sin\gamma}$. Следовательно, треугольники $LIO$ и $CED$ подобны по двум сторонам и углу между ними. При этом $LI\perp CE$ и $LO\perp CD$. Следовательно, $IO\perp DE$. Кроме того,

$IO=DE\cdot\frac{LI}{CE}=DE\cdot\frac{1}{2\sin\gamma}=\frac{DE}{2\sin\gamma},$

а если $\gamma=30^{\circ}$, то $IO=DE$