ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Высоты треугольника тоже образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что треугольник равносторонний


Решение:


Пусть $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - углы треугольника; $a$, $b$, $c$ - противолежащие им стороны, а $h_{a}$, $h_{b}$, $h_{c}$ - соответствующие высоты. Без ограничения общности будем считать, что $\alpha\leq\beta\leq\gamma$. Тогда $a\leq b\leq c$ и $h_{c}\leq h_{b}\leq h_{a}$.
Поскольку углы треугольника образуют арифметическую прогрессию, $\alpha+\gamma=2\beta$, а т.к.

$\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ},$

то $3\beta=180^{\circ}$. Значит, $\beta=60^{\circ}$.
По теореме косинусов

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos60^{\circ}=a^{2}+c^{2}-ac.$


Пусть $S$ - площадь треугольника. Тогда

$h_{a}=\frac{2S}{a},~h_{b}=\frac{2S}{b},~h_{c}=\frac{2S}{c},$

а т.к. высоты треугольника образуют арифметическую прогрессию, то

$\frac{2S}{a}+\frac{2S}{c}=h_{a}+h_{c}=2h_{b}=\frac{4S}{b},$

откуда

$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}~\Leftrightarrow~b=\frac{2ac}{a+c}.$

Подставив это значение $b$ в равенство $b^{2}=a^{2}+c^{2}-ac$, получим

$\frac{4a^{2}c^{2}}{(a+c)^{2}}=a^{2}+c^{2}-ac~\Leftrightarrow~4a^{2}c^{2}=(a+c)^{2}(a^{2}+c^{2}-ac).$

Тогда

$0=(a+c)^{2}(a^{2}+c^{2}-ac)-4a^{2}c^{2}=((a-c)^{2}+4ac)((a-c)^{2}+ac)-4a^{2}c^{2}=(a-c)^{4}+5ac(a-c)^{2}=(a-c)^{2}((a-c)^{2}+5ac).$

Следовательно, $a=c$, и $a=b=c$. Что и требовалось доказать