ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Точки $M$ и $P$ - середины сторон $BC$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Известно, что $AM+AP=a$. Докажите, что площадь четырёхугольника $ABCD$ меньше $\frac{a^{2}}{4}$


Решение:


Пусть площадь данного четырёхугольника равна $S$, а точка $M$ лежит на стороне $BC$. Поскольку $BM$ и $AP$ - медианы треугольников $ABC$ и $ADC$ соответственно, то (см. задачу 6414)

$S=S_{\Delta ABC}+S_{\Delta ADC}=2S_{\Delta AMC}+2S_{\Delta APC}=2S_{AMCP}.$


Четырёхугольник выпуклый, поэтому точка $O$ пересечения диагоналей лежит на отрезке $AC$, а т.к. $MP\parallel BD$ (как средняя линия треугольника $BCD$), то $MP$ пересекает отрезок $OC$ в его середине. Значит, высота треугольника $MCP$, проведённая из вершины $C$, меньше высоты треугольника $MAP$, проведённой из вершины $A$, а т.к. $MP$ - общее основание этих треугольников, то $S_{\Delta CMP}\lt S_{\Delta AMP}$.
Далее получаем

$S_{\Delta AMP}=\frac{1}{2}AM\cdot AP\sin\angle MAP\leq\frac{1}{2}AM\cdot AP\leq\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{AM+AP}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{8}.$

Следовательно,

$S=2S_{AMCP}=S_{\Delta AMP}+S_{\Delta CMP}\lt2S_{\Delta AMP}=\frac{a^{2}}{8}.$

Что и требовалось доказать