Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16485
2026-02-19 
Пусть $a$, $b$, $c$ - стороны, а $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - противолежащие им углы треугольника. Докажите, что если
$ab^{2}\cos\alpha=bc^{2}\cos\beta=ca^{2}\cos\gamma,$
то треугольник равносторонний
Решение:
Из теоремы косинусов следует, что равенство $ab^{2}\cos\alpha=bc^{2}\cos\beta$ можно переписать в виде
$ab^{2}\left(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)=bc^{2}\left(\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\right),$
или
$a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})=c^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})~\Leftrightarrow~a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}=a^{4}+c^{4}.$
Аналогично,
$b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}=a^{4}+b^{4},~a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}=b^{4}+c^{4}.$
Сложив эти три равенства, получим
$2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}=2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}~\Leftrightarrow~(a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}=0.$
Следовательно, $a=b=c$. Что и требовалось доказать
Пусть $a$, $b$, $c$ - стороны, а $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - противолежащие им углы треугольника. Докажите, что если
$ab^{2}\cos\alpha=bc^{2}\cos\beta=ca^{2}\cos\gamma,$
то треугольник равносторонний
Решение:
Из теоремы косинусов следует, что равенство $ab^{2}\cos\alpha=bc^{2}\cos\beta$ можно переписать в виде
$ab^{2}\left(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)=bc^{2}\left(\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\right),$
или
$a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})=c^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})~\Leftrightarrow~a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}=a^{4}+c^{4}.$
Аналогично,
$b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}=a^{4}+b^{4},~a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}=b^{4}+c^{4}.$
Сложив эти три равенства, получим
$2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}=2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}~\Leftrightarrow~(a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}=0.$
Следовательно, $a=b=c$. Что и требовалось доказать
