ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
На катетах $AB$ и $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ вне треугольника построены квадраты $ABDE$ и $ACFG$. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BF$ и $AC$ - в точке $Q$. Докажите, что $AP=AQ$


Решение:


Обозначим $AB=AE=c$ и $AC=AG=b$. Треугольник $CAP$ подобен треугольнику $CED$, поэтому

$\frac{AP}{c}=\frac{AP}{DE}=\frac{CQ}{CE}=\frac{b}{b+c},$

откуда $AP=\frac{bc}{b+c}$.
Треугольник $ABQ$ подобен треугольнику $GBF$, поэтому

$\frac{AQ}{b}=\frac{AQ}{FG}=\frac{AB}{GB}=\frac{c}{c+b},$

Следовательно,

$AQ=\frac{bc}{b+c}=AP.$

Что и требовалось доказать