Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16494
2026-02-19 
Точка $O$ - центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Вершины $P$, $Q$, $R$, $S$ ромба лежат на сторонах соответственно $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ трапеции. Докажите, что точки $Q$, $S$ и $O$ лежат на одной прямой
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - середины боковых сторон соответственно $AB$ и $CD$ трапеции. По теореме Фалеса средняя линия $MN$ трапеции проходит через середину $X$ диагонали $QS$ ромба $PQRS$, т.е. через его центр.
Пусть прямая, проведённая через точку $R$ пересекает сторону $AB$ в точке $T$, а прямая, проведённая через точку $R$ параллельно $AB$, пересекает $MN$ в точке $E$. Тогда $ERTM$ - параллелограмм, а треугольники $MXP$ и $EXR$ равны по стороне ($PX=RX$) и двум прилежащим к ней углам. Значит, $MP=ER=MT$, т.е. $M$ - середина отрезка $PT$. Следовательно, $RN=MT=MP$, т.к. $MTRN$ - равнобедренная трапеция.
Поскольку $O$ - центр окружности, описанной около трапеции $ABCD$, то $OM$ и $ON$ - серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $CD$ соответственно. При этом $OM=ON$ как перпендикуляры, опущенные из центра окружности на равные хорды $AB$ и $CD$. Значит, прямоугольные треугольники $OMP$ и $ONR$ равны по двум катетам, поэтому равны их гипотенузы $OP$ и $OR$, т.е. точка $O$, как и точки $Q$ и $S$, равноудалена от концов отрезка $PR$. Следовательно, $Q$, $S$ и $O$ лежат на одной прямой - на серединном перпендикуляре к отрезку $PR$
Точка $O$ - центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Вершины $P$, $Q$, $R$, $S$ ромба лежат на сторонах соответственно $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ трапеции. Докажите, что точки $Q$, $S$ и $O$ лежат на одной прямой
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - середины боковых сторон соответственно $AB$ и $CD$ трапеции. По теореме Фалеса средняя линия $MN$ трапеции проходит через середину $X$ диагонали $QS$ ромба $PQRS$, т.е. через его центр.
Пусть прямая, проведённая через точку $R$ пересекает сторону $AB$ в точке $T$, а прямая, проведённая через точку $R$ параллельно $AB$, пересекает $MN$ в точке $E$. Тогда $ERTM$ - параллелограмм, а треугольники $MXP$ и $EXR$ равны по стороне ($PX=RX$) и двум прилежащим к ней углам. Значит, $MP=ER=MT$, т.е. $M$ - середина отрезка $PT$. Следовательно, $RN=MT=MP$, т.к. $MTRN$ - равнобедренная трапеция.
Поскольку $O$ - центр окружности, описанной около трапеции $ABCD$, то $OM$ и $ON$ - серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $CD$ соответственно. При этом $OM=ON$ как перпендикуляры, опущенные из центра окружности на равные хорды $AB$ и $CD$. Значит, прямоугольные треугольники $OMP$ и $ONR$ равны по двум катетам, поэтому равны их гипотенузы $OP$ и $OR$, т.е. точка $O$, как и точки $Q$ и $S$, равноудалена от концов отрезка $PR$. Следовательно, $Q$, $S$ и $O$ лежат на одной прямой - на серединном перпендикуляре к отрезку $PR$
