ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Внутри параллелограмма $ABCD$ взята точка $P$. Известно, что $\angle ABP=2\angle ADP$ и $\angle DCP=2\angle DAP$. Докажите, что $AB=PB=PC$


Решение:


Обозначим $\angle ADP=\alpha$ и $\angle DAP=\beta$. Тогда $\angle ABP=2\alpha$ и $\angle DCP=2\beta$.
С началом в точке $P$ параллельно $AB$ проведём луч, пересекающий сторону $AD$, и отложим на нём отрезок $PO=AB=CD$. Тогда $ABPO$ и $DCPO$ - параллелограммы, поэтому

$\angle AOP=\angle ABP=2\alpha,~\angle DOP=\angle DCP=2\beta.$


На продолжении отрезка $PO$ за точку $O$ отложим отрезок $OQ=OA$. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника получим, что углы при основании $AQ$ равнобедренного треугольника $AOQ$ равны половине угла $AOP$, т.е. $\alpha$. Из точек $Q$ и $D$, лежащих по одну сторону от прямой $AP$, отрезок $AP$ виден под одним те тем же углом, равным $\alpha$, поэтому точки $A$, $P$, $D$ и $Q$ лежат на одной окружности, а т.к.

$\angle DQP=\angle DAP=\beta,~\angle ODQ=\angle DOP-\angle DQP=2\beta-\beta=\beta,$

то треугольник $DOQ$ равнобедренный, значит, $OD=OQ=OA$. Таким образом, $O$ - центр этой окружности, поэтому

$AB=OP=OA=PB,~PC=OD=OA.$

Следовательно, $AB=PB=PC$. Что и требовалось доказать