Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16492
2026-02-19 
Точки $E$ и $D$ середины диагоналей соответственно $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$, $O$ - точка пересечения диагоналей, точки $H$, $K$, $L$ и $M$ - середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно, а $G$ - вершина параллелограмма $FOEG$. Докажите, что прямые $GH$, $GK$, $GL$ и $GM$ разбивают четырёхугольник $ABCD$ на четыре равновеликие части
Решение:
Достаточно доказать, что площадь каждой такой части равна четверти площади данного четырёхугольника.
Поскольку прямые $EG$ и $KL$ параллельны, четырёхугольник $CKGL$ равновелик четырёхугольнику $CKEL$. Значит,
$S_{CKGL}=S_{CKEL}=S_{\Delta CKE}+S_{\Delta CLE}=\frac{1}{4}S_{\Delta ABC}+\frac{1}{4}S_{\Delta ADC}=\frac{1}{4}(S_{\Delta ABC}+S_{\Delta ADC})=\frac{1}{4}S_{ABCD}.$
Аналогично для остальных частей
Точки $E$ и $D$ середины диагоналей соответственно $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$, $O$ - точка пересечения диагоналей, точки $H$, $K$, $L$ и $M$ - середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно, а $G$ - вершина параллелограмма $FOEG$. Докажите, что прямые $GH$, $GK$, $GL$ и $GM$ разбивают четырёхугольник $ABCD$ на четыре равновеликие части
Решение:
Достаточно доказать, что площадь каждой такой части равна четверти площади данного четырёхугольника.
Поскольку прямые $EG$ и $KL$ параллельны, четырёхугольник $CKGL$ равновелик четырёхугольнику $CKEL$. Значит,
$S_{CKGL}=S_{CKEL}=S_{\Delta CKE}+S_{\Delta CLE}=\frac{1}{4}S_{\Delta ABC}+\frac{1}{4}S_{\Delta ADC}=\frac{1}{4}(S_{\Delta ABC}+S_{\Delta ADC})=\frac{1}{4}S_{ABCD}.$
Аналогично для остальных частей
