ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Два квадрата $ABDE$ и $ACFG$ построены вне треугольника $ABC$ на его сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Точки $P$ и $Q$ на прямой $EG$ таковы, что $BP$ и $CQ$ перпендикулярны $BC$. Докажите, что $BP+CQ\geq BC+EG$.
Когда достигается равенство


Решение:


Пусть $M$, $N$, и $O$ - середины отрезков $BC$, $PQ$ и $EG$ соответственно, а $A'$ - точка, симметричная $A$ относительно точки $O$. Тогда (см. задачу 9087) треугольник $EAA'$ равен треугольнику $ABC$, причём стороны треугольника $EAA'$ перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника $ABC$, а медиана $EO$ треугольника $EAA'$ равна и перпендикулярна соответствующей медиане $AM$ треугольника $ABC$.
Отметим на прямой $MN$ точку $L$, для которой $AL\parallel OE$. Прямые $MN$ и $AA'$ перпендикулярны $BC$, поэтому они параллельны. Значит, $AONL$ - параллелограмм, $AO=LN$. Поскольку $AM\perp OE$, то $AM\perp AL$, поэтому $ML\geq MA$. Значит,

$MN=LN+ML\geq AO+MA.$


Отрезок $MN$ - средняя линия трапеции (или прямоугольника) $CPQB$, следовательно,

$BP+CQ=2MN\geq2(AO+MA)=2AO+2MA=AA'+EG=BC+EG.$

Что и требовалось доказать.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда $MN=AO+MA$, т.е. когда, отрезок $MN$ совпадает с $MO$, т.е. когда $AB=AC$