ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Точка $H$ - ортоцентр треугольника $ABC$, точки $A'$, $B'$, $C'$ - середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Окружность с центром $H$ пересекает прямую $B'C'$ в точках $D_{1}$ и $D_{2}$, прямую $C'A'$ - в точках $E_{1}$ и $E_{2}$, прямую $A'B'$ - в точках $F_{1}$ и $F_{2}$. Докажите, что

$AD_{1}=AD_{2}=BE_{1}=BE_{2}=CF_{1}=CF_{2}$.


Решение:



Пусть точки пересечения окружности с прямыми $B'C'$, $C'A'$, $A'B'$ расположены так, как показано на рисунке. Поскольку $C'B'\parallel BC$ и $AH\perp BC$, то $AH\perp D_{1}D_{2}$, поэтому прямая $AH$ - серединный перпендикуляр к хорде $D_{1}D_{2}$. Значит, $AD_{1}=AD_{2}$. Аналогично, $BE_{1}=BE_{2}$ и $CF_{1}=CF_{2}$. Для доказательства утверждения задачи осталось доказать, что, например, $BE_{2}=CF_{1}$.
Пусть перпендикулярные прямые $BH$ и $A'C'$ пересекаются в точке $G$. Тогда по теореме Пифагора

$E_{2}B^{2}=BG^{2}+E_{2}G^{2}=(A'B^{2}-A'G^{2})+(E_{2}H^{2}-GH^{2})=A'B^{2}+E_{2}H^{2}-(A'G^{2}+GH^{2})=A'B^{2}+E_{2}H^{2}-A'H^{2}.$

Аналогично,

$F_{1}C^{2}=A'C^{2}+F_{1}H^{2}-A'H^{2},$

а т.к. $A'B=A'C$ и $E_{2}H=F_{1}H$ как радиусы одной окружности, то $E_{2}B=F_{1}C$. Отсюда следует утверждение задачи