Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16479
2026-02-19 
Треугольник $T_{1}$ составлен из медиан прямоугольного треугольника $T$. Пусть $R$ и $R_{1}$ - радиусы описанных окружностей треугольников $T$ и $T_{1}$ соответственно. Докажите, что $R_{1}\geq\frac{5}{6}R$
Решение:
Известно, что из медиан любого треугольника можно составить новый треугольник, причём площадь нового равна $\frac{3}{4}$ площади исходного (см. задачу 6445).
Пусть $a$, $b$, $c$ ($a^{2}+b^{2}=c^{2}$) - стороны треугольника $T$, $m_{a}$, $m_{b}$, $m_{c}$ - медианы треугольника $T$ (т.е. стороны треугольника $T_{1}$), проведённые к сторонам $a$, $b$ и $c$ соответственно, $S$ и $S_{1}$ - площади этих треугольников. Тогда по формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 7212) получаем
$4m_{a}^{2}=2b^{2}+2c^{2}-a^{2}=2b^{2}+2(a^{2}+b^{2})-a^{2}=4b^{2}+a^{2},$
$4m_{b}^{2}=4a^{2}+b^{2},~4m_{c}^{2}=a^{2}+b^{2}.$
Тогда (см. задачу 7423)
$R_{1}=\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{4S_{1}}=\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{4\cdot\frac{3}{4}S}=\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{3S}=\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{\frac{3}{2}ab}.$
Значит,
$R_{1}\geq\frac{5}{6}R~\Leftrightarrow~\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{\frac{3}{2}ab}\geq\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{2}c~\Leftrightarrow~8m_{a}m_{b}m_{c}\geq5abc~\Leftrightarrow~(4b^{2}+a^{2})(4a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2})\geq25a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})~\Leftrightarrow~(4b^{2}+a^{2})(4a^{2}+b^{2})\geq25a^{2}b^{2}~\Leftrightarrow~4(a^{2}-b^{2})^{2}\geq0.$
Отсюда следует доказываемое неравенство. Оно обращается в равенство тогда и только тогда, когда $a=b$, т.е. когда треугольник $T$ прямоугольный и равнобедренный
Треугольник $T_{1}$ составлен из медиан прямоугольного треугольника $T$. Пусть $R$ и $R_{1}$ - радиусы описанных окружностей треугольников $T$ и $T_{1}$ соответственно. Докажите, что $R_{1}\geq\frac{5}{6}R$
Решение:
Известно, что из медиан любого треугольника можно составить новый треугольник, причём площадь нового равна $\frac{3}{4}$ площади исходного (см. задачу 6445).
Пусть $a$, $b$, $c$ ($a^{2}+b^{2}=c^{2}$) - стороны треугольника $T$, $m_{a}$, $m_{b}$, $m_{c}$ - медианы треугольника $T$ (т.е. стороны треугольника $T_{1}$), проведённые к сторонам $a$, $b$ и $c$ соответственно, $S$ и $S_{1}$ - площади этих треугольников. Тогда по формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 7212) получаем
$4m_{a}^{2}=2b^{2}+2c^{2}-a^{2}=2b^{2}+2(a^{2}+b^{2})-a^{2}=4b^{2}+a^{2},$
$4m_{b}^{2}=4a^{2}+b^{2},~4m_{c}^{2}=a^{2}+b^{2}.$
Тогда (см. задачу 7423)
$R_{1}=\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{4S_{1}}=\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{4\cdot\frac{3}{4}S}=\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{3S}=\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{\frac{3}{2}ab}.$
Значит,
$R_{1}\geq\frac{5}{6}R~\Leftrightarrow~\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{\frac{3}{2}ab}\geq\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{2}c~\Leftrightarrow~8m_{a}m_{b}m_{c}\geq5abc~\Leftrightarrow~(4b^{2}+a^{2})(4a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2})\geq25a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})~\Leftrightarrow~(4b^{2}+a^{2})(4a^{2}+b^{2})\geq25a^{2}b^{2}~\Leftrightarrow~4(a^{2}-b^{2})^{2}\geq0.$
Отсюда следует доказываемое неравенство. Оно обращается в равенство тогда и только тогда, когда $a=b$, т.е. когда треугольник $T$ прямоугольный и равнобедренный
