ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Дан параллелограмм $ABCD$. Окружность радиуса $R$, проходящая через вершины $A$ и $B$, и равная ей окружность, проходящая через вершины $B$ и $C$, вторично пересекаются в точке $E$, не совпадающей с вершиной параллелограмма. Докажите, что окружность, проходящая через точки $C$, $D$ и $E$, имеет тот же радиус $R$


Решение:


Пусть $M$ - середина общей хорды $BE$ двух данных окружностей. Фигура, состоящая из этих окружностей, симметрична относительно точки $M$.
Пусть $EF$ - хорда первой окружности, проходящая через точки $A$, $B$ и $E$ параллельно $AD$ и $BC$. При симметрии относительно точки $M$ луч $BC$ переходит в противоположно направленный с ним луч $EF$, а окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $E$, - в окружность, проходящую через точки $A$, $B$ и $E$. Значит, точка $C$ переходит в $F$. Следовательно, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{FE}=$. Значит, при параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{BC}$ треугольник $AFB$ переходит в треугольник $DEC$, а описанная окружность треугольника $AFB$ - в описанную окружность треугольника $DEC$. Следовательно, радиус окружности, проходящей через точки $C$, $D$ и $E$, тоже равен $R$