ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Окружности $\Omega$ и $\Omega_{1}$ касаются внешним образом. В окружность $\Omega$ вписан равносторонний треугольника $ABC$. Точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$, лежащие на окружности $\Omega_{1}$, таковы, что $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ - касательные к окружности $\Omega_{1}$. Докажите, что один из отрезков $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ равен сумме двух других


Решение:


Пусть $O$ и $O_{1}$ - центры, а $R$ и $R_{1}$ - радиусы окружностей $\Omega$ и $\Omega_{1}$ соответственно, $T$ - их точка касания. Предположим без ограничения общности, что точка $T$ лежит на меньшей дуге $AB$ окружности $\Omega$. Тогда

$AT+BT=CT$

(см. задачу 8107).
Продолжим $AT$ до вторичного пересечения с окружностью $\Omega_{1}$ в точке $D$. Равнобедренные треугольники $AOT$ и $TOD$ подобны с коэффициентом $\frac{R}{R_{1}}$, поэтому

$\frac{AD}{AT}=\frac{R+R_{1}}{R}~\Rightarrow~AD=AT\cdot\frac{R+R_{1}}{R}.$

Тогда по теореме о касательной и секущей (см. задачу 8176)

$AA_{1}=\sqrt{AT\cdot AD}=\sqrt{AT\cdot AT\cdot\frac{R+R_{1}}{R}}=AT\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}}.$

Аналогично,

$BB_{1}=BT\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}},~CC_{1}=CT\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}}.$

Следовательно,

$CC_{1}=CT\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}}=(AT+BT)\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}}=AT\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}}+BT\sqrt{\frac{R+R_{1}}{R}}=AA_{1}+BB_{1}.$

Что и требовалось доказать