ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2026-02-19   
Дан прямоугольник $ABCD$, в котором $AB\gt BD$. Постройте точки $X$ и $Y$ между $C$ и $D$ так, чтобы $AX=XY=YB$


Решение:


Первый способ. Пусть $M$ - середина стороны $CD$. На луче $MA$ построим точку $P$ так, чтобы $DP=DC$, а через точку $A$ параллельно $DP$ проведём прямую. Пусть она пересекает $CD$ в точке $X$. На луче $MC$ отложим отрезок $MY=MX$. Докажем, что $X$ и $Y$ - искомые точки.
Действительно, из параллельности $AX$, $PD$ и равенства $DP=DC$ получаем

$\frac{AX}{XM}=\frac{PD}{DM}=\frac{CD}{DM}=\frac{CD}{\frac{1}{2}CD}=2.$

Тогда

$AX=2XM=XY,$

а из симметрии - $AX=BY$. Что и требовалось доказать.
Для каждого такого прямоугольника $ABCD$ задача имеет единственное решение.
Второй способ. Пусть $M$ - середина стороны $CD$. На луче $AM$ отложим отрезок $AO=\frac{4}{3}AM$. Построим окружность с центром $O$ и радиусом $\frac{1}{2}AM$. Это окружность Аполлония для точек $A$ и $M$ и $k=2$ (см. задачу 5926), т.е. геометрическое место точек, удалённых от $A$ на расстояние вдвое большее, чем от $M$.
Поскольку $AD\lt CD=2MD$, точка $D$ лежит вне этой окружности. Следовательно, окружность пересекает отрезок $MD$. Обозначим точку пересечения через $X$, а через $Y$ - симметричную ей точку относительно $M$. Тогда $X$ и $Y$ - искомые точки