Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16471
2026-02-19 
Точка $I_{a}$ - центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, противолежащей вершине $A$; $D$ - точка касания со стороной $BC$; $E$ и $F$ - точки касания с продолжениями сторон $AB$ и $AC$; $M$ - середина стороны $BC$. Докажите, что прямые $I_{a}D$, $EF$ и $AM$ пересекаются в одной точке
Решение:
Пусть $Y$ - точка пересечения прямых $EF$ и $I_{a}D$, $X$ - точка пересечения прямых $AY$ и $BC$. Нужно доказать, что точка $X$ - середина стороны $BC$.
Пусть точка $E$ лежит на прямой $AB$. Обозначим $\angle ABC=\beta$, $\angle ACB=\gamma$. Четырёхугольники $BDI_{a}E$ и $CDI_{a}F$ вписанные, поэтому
$\angle EI_{a}Y=\angle EI_{a}D=\angle ABD=\beta,~\angle FI_{a}Y=\angle FI_{a}D=\angle ACD=\gamma.$
Точка $Y$ лежит на основании $EF$ равнобедренного треугольника $EI_{a}F$. По теореме синусов из треугольников $EI_{a}Y$ и $FI_{a}Y$ получаем
$\frac{\sin\beta}{\sin\angle EYI_{a}}=\frac{EY}{EI_{a}},~\frac{\sin\gamma}{\sin(180^{\circ}-\angle EYI_{a})}=\frac{FY}{FI_{a}}.$
Разделив первое из этих равенств на второе и учитывая, что $\sin(180^{\circ}-\angle EYI_{a})=\sin\angle EYI_{a}$ и $EI_{a}=FI_{a}$, получим, что $\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{EY}{FY}$. Из равнобедренного треугольника $EAF$ аналогично получим, что $\frac{\sin\angle BAX}{\sin\angle CAX}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}$.
Применив теорему синусов к треугольникам $ABX$ и $ACX$, получим равенства
$\frac{BX}{AX}=\frac{\sin\angle BAX}{\sin\beta},~\frac{CX}{AX}=\frac{\sin\angle CAX}{\sin\gamma}.$
Значит,
$\frac{BX}{CX}=\frac{\sin\angle BAX}{\sin\angle CAX}\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=1.$
Следовательно, $BX=CX$. Что и требовалось доказать
Точка $I_{a}$ - центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, противолежащей вершине $A$; $D$ - точка касания со стороной $BC$; $E$ и $F$ - точки касания с продолжениями сторон $AB$ и $AC$; $M$ - середина стороны $BC$. Докажите, что прямые $I_{a}D$, $EF$ и $AM$ пересекаются в одной точке
Решение:
Пусть $Y$ - точка пересечения прямых $EF$ и $I_{a}D$, $X$ - точка пересечения прямых $AY$ и $BC$. Нужно доказать, что точка $X$ - середина стороны $BC$.
Пусть точка $E$ лежит на прямой $AB$. Обозначим $\angle ABC=\beta$, $\angle ACB=\gamma$. Четырёхугольники $BDI_{a}E$ и $CDI_{a}F$ вписанные, поэтому
$\angle EI_{a}Y=\angle EI_{a}D=\angle ABD=\beta,~\angle FI_{a}Y=\angle FI_{a}D=\angle ACD=\gamma.$
Точка $Y$ лежит на основании $EF$ равнобедренного треугольника $EI_{a}F$. По теореме синусов из треугольников $EI_{a}Y$ и $FI_{a}Y$ получаем
$\frac{\sin\beta}{\sin\angle EYI_{a}}=\frac{EY}{EI_{a}},~\frac{\sin\gamma}{\sin(180^{\circ}-\angle EYI_{a})}=\frac{FY}{FI_{a}}.$
Разделив первое из этих равенств на второе и учитывая, что $\sin(180^{\circ}-\angle EYI_{a})=\sin\angle EYI_{a}$ и $EI_{a}=FI_{a}$, получим, что $\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{EY}{FY}$. Из равнобедренного треугольника $EAF$ аналогично получим, что $\frac{\sin\angle BAX}{\sin\angle CAX}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}$.
Применив теорему синусов к треугольникам $ABX$ и $ACX$, получим равенства
$\frac{BX}{AX}=\frac{\sin\angle BAX}{\sin\beta},~\frac{CX}{AX}=\frac{\sin\angle CAX}{\sin\gamma}.$
Значит,
$\frac{BX}{CX}=\frac{\sin\angle BAX}{\sin\angle CAX}\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=1.$
Следовательно, $BX=CX$. Что и требовалось доказать
