Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 16468
2026-02-19 
Пусть точка $I$ - центр вписанной окружности треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$, точки $I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$ - центры вневписанных окружностей, противолежащих вершинам $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ соответственно, $G$ - точка пересечения медиан треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$, $H_{1}$ - ортоцентр, треугольника $I_{1}A_{2}A_{3}$. Аналогично определяются точки $H_{2}$ и $H_{3}$. Докажите, что прямые $A_{1}H_{1}$, $A_{2}H_{2}$, $A_{3}H_{3}$ пересекаются в одной точке, причём эта точка лежит на прямой $IG$
Решение:
Поскольку биссектрисы смежных углов перпендикулярны, точки $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ лежат на сторонах треугольника $I_{1}I_{2}I_{3}$ и являются проекциями точки $I$ на стороны этого треугольника.
Поскольку $A_{3}H_{1}\perp I_{1}I_{3}$ и $IA_{2}\perp I_{1}I_{3}$, то $A_{3}H_{1}\parallel IA_{2}$. Аналогично, $A_{2}H_{1}\parallel IA_{3}$. Значит, $IA_{2}H_{1}A_{3}$ - параллелограмм. Следовательно,
$\overrightarrow{IH_{1}}=\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IA_{3}}.$
Аналогично,
$\overrightarrow{IH_{2}}=\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{3}},~\overrightarrow{IH_{3}}=\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{2}}.$
Тогда
$\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IH_{1}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IA_{3}}),$
$\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IH_{2}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{3}}),$
$\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{3}}+\overrightarrow{IH_{3}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{3}}+\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{2}}).$
Пусть точка $S$ - конец вектора $\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IA_{3}})$. Тогда $S$ - общий конец векторов
$\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IH_{1}}),~\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IH_{2}}),~\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{3}}+\overrightarrow{IH_{3}}).$
Это и означает, что прямые $A_{1}H_{1}$, $A_{2}H_{2}$, $A_{3}H_{3}$ пересекаются в одной точке - точке $S$.
Поскольку (см. задачу 7643)
$\overrightarrow{IG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IA_{3}})~\mbox{и}~\overrightarrow{IS}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IA_{3}}),$
то $\overrightarrow{IG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{IS}$. Следовательно, точка $S$ лежит на прямой $IG$. Что и требовалось доказать
Пусть точка $I$ - центр вписанной окружности треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$, точки $I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$ - центры вневписанных окружностей, противолежащих вершинам $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ соответственно, $G$ - точка пересечения медиан треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$, $H_{1}$ - ортоцентр, треугольника $I_{1}A_{2}A_{3}$. Аналогично определяются точки $H_{2}$ и $H_{3}$. Докажите, что прямые $A_{1}H_{1}$, $A_{2}H_{2}$, $A_{3}H_{3}$ пересекаются в одной точке, причём эта точка лежит на прямой $IG$
Решение:
Поскольку биссектрисы смежных углов перпендикулярны, точки $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ лежат на сторонах треугольника $I_{1}I_{2}I_{3}$ и являются проекциями точки $I$ на стороны этого треугольника.
Поскольку $A_{3}H_{1}\perp I_{1}I_{3}$ и $IA_{2}\perp I_{1}I_{3}$, то $A_{3}H_{1}\parallel IA_{2}$. Аналогично, $A_{2}H_{1}\parallel IA_{3}$. Значит, $IA_{2}H_{1}A_{3}$ - параллелограмм. Следовательно,
$\overrightarrow{IH_{1}}=\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IA_{3}}.$
Аналогично,
$\overrightarrow{IH_{2}}=\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{3}},~\overrightarrow{IH_{3}}=\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{2}}.$
Тогда
$\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IH_{1}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IA_{3}}),$
$\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IH_{2}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{3}}),$
$\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{3}}+\overrightarrow{IH_{3}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{3}}+\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{2}}).$
Пусть точка $S$ - конец вектора $\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IA_{3}})$. Тогда $S$ - общий конец векторов
$\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IH_{1}}),~\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IH_{2}}),~\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{3}}+\overrightarrow{IH_{3}}).$
Это и означает, что прямые $A_{1}H_{1}$, $A_{2}H_{2}$, $A_{3}H_{3}$ пересекаются в одной точке - точке $S$.
Поскольку (см. задачу 7643)
$\overrightarrow{IG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IA_{3}})~\mbox{и}~\overrightarrow{IS}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{IA_{1}}+\overrightarrow{IA_{2}}+\overrightarrow{IA_{3}}),$
то $\overrightarrow{IG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{IS}$. Следовательно, точка $S$ лежит на прямой $IG$. Что и требовалось доказать
